Những khoảnh khắc lịch sử | Nhiều tác giả
Hàm số và phương trình lượng giác-Trắc nghiệm
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Ngọc Uyên
Ngày gửi: 09h:45' 25-06-2024
Dung lượng: 3.5 MB
Số lượt tải: 189
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Ngọc Uyên
Ngày gửi: 09h:45' 25-06-2024
Dung lượng: 3.5 MB
Số lượt tải: 189
Số lượt thích:
0 người
BÀI 2
CÁC PHÉP ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
Chú ý:
2. Công thức góc nhân đôi
Chú ý:
Công thức hạ bậc
Công thức nhân ba
sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31
hoặc: sin thì 3sin 4sỉn , cos thì 4 cổ 3cô
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 1
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Chú ý:
DẠNG 1
Trang 2
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.
Biểu thức
A.
bằng:
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Câu 2.
A.
Biểu thức
bằng:
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Câu 3.
A.
Giá trị của biểu thức
B.
là:
C.
Lời giải
Chọn D.
Câu 4.
là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Trang 3
D.
Ta có:
là 11 nghiệm của phương trình
Câu 5.
Giá trị của biểu thức:
A. 0
là:
B.
C. 9
D. 8
Lời giải
Chọn B.
Câu 6.
A.
Tính giá trị của biểu thức
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Vì
nên suy ra
.
.
Câu 7.
Giá trị của biểu thức:
A. 9
B. 8
là:
C. 1
Lời giải
Chọn A.
Cách bấm máy: Nhập vào màn hình biểu thức:
Câu 8.
Rút gọn biểu thức
Trang 4
D. 0
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 9.
A.
Tính giá trị của biểu thức
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Vậy
Câu 10. Giá trị của biểu thức
A.
B.
là
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Câu 11. Giá trị đúng của biểu thức
A.
B.
bằng
C.
Lời giải
Chọn C.
Trang 5
D.
Ta có
.
Câu 12. Giá trị của biểu thức
A.
là
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Áp dụng công thức
Câu 13. Cho góc
ta có
thỏa mãn
A.
Tính
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Suy ra
Câu 14. Cho góc
thỏa mãn
A.
và
B.
. Tính
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
, suy ra
nên ta chọn
.
.
Trang 6
Thay
và
vào
Câu 15. Biết
, ta được
và
A.
.
. Tính
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
, suy ra
nên ta chọn
.
.
Suy ra
Câu 16. Cho góc
A.
.
thỏa mãn
B.
Tính
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Suy ra
Câu 17. Cho
A.
. Khi đó biểu thức
là:
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Câu 18. Tính giá trị biểu thức
biết
Trang 7
.
A.
B. 1
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Câu 19. Cho góc
thỏa mãn
A.
và
. Tính
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
, suy ra
nên ta chọn
Thay
Câu 20. Cho góc
và
.
vào
thỏa mãn
A.
.
, ta được
.
và
. Tính
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
Thay
, suy ra
nên ta chọn
và
.
.
vào
, ta được
Trang 8
.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 21. Cho góc
A.
thỏa mãn
và
. Tính
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
.
Từ hệ thức
, suy ra
.
Do
nên ta chọn
. Suy ra
Thay
vào
.
Câu 22. Cho góc
A.
, ta được
.
thỏa mãn
. Tính
B.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Từ giả thiết
Thay
.
vào
, ta được
Trang 9
Câu 23. Cho góc
thỏa mãn
A.
và
. Tính
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
.
Từ hệ thức
Vì
,
.
cùng dấu và
Do đó ta chọn
Thay
nên
.
. Suy ra
và
Câu 24. Cho góc
vào
thỏa mãn
A.
.
, ta được
và
. Tính
B.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C.
Với
suy ra
.
Ta có
.
Từ hệ thức
, suy ra
(do
Vậy
Câu 25. Cho
A.
).
.
và thỏa mãn
B.
,
. Góc
C.
Lời giải
Trang 10
có giá trị bằng
D.
Chọn B.
Ta có
Câu 26. Cho
suy ra
là các góc nhọn và dương thỏa mãn
A.
B.
Tổng
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Mặt khác
suy ra
Câu 27. Nếu
là ba góc nhọn thỏa mãn
A.
Do đó
B.
thì
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Vậy tổng ba góc
Câu 28. Tính
A.
(vì
là ba góc nhọn).
biết:
B.
C.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Trang 11
D.
bằng
Câu 29. Cho
A. 1
. Khi đó giá trị
là:
B.
C.
D. 3
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
Câu 30. Giả sử
A.
với
. Khi đó tổng
B.
bằng:
C. 1
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Câu 31. Nếu
A.
thì giá trị đúng của
B.
C.
Trang 12
là
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Câu 32. Nếu
với
thì
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Câu 33. Nếu
và
A.
B.
thì
bằng
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Từ giả thiết, ta có
Suy ra
Mặt khác
Câu 34. Nếu
nên suy ra
và
là hai nghiệm của phương trình
thì
bằng
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn A.
Trang 13
D.
Vì
là hai nghiệm của phương trình
nên theo định lí Viet, ta có
Khi đó
Câu 35. Nếu
và
là hai nghiệm của phương trình
thức
thì giá trị biểu
bằng:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Vì
là hai nghiệm của phương trình
nên theo định lí Viet, ta có
Khi đó
Câu 36. Thu gọn biểu thức:
A.
với
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Câu 37. Rút gọn
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B.
Trang 14
D.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 38. Rút gọn biểu thức
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Vì hai góc
và
phụ nhau nên
Suy ra
Câu 39. Rút gọn biểu thức
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Câu 40. Rút gọn
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 41. Rút gọn
A.
B.
C.
Trang 15
D.
Lời giải
Chọn B.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 42. Rút gọn
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 43. Giá trị nào sau đây của
A.
thỏa mãn
B.
?
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 44. Gọi
A.
thì
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
.
Câu 45. Gọi
thì
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Trang 16
Ta có:
.
Câu 46. Rút gọn biểu thức
A.
.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Câu 47. Thu gọn biểu thức
A.
ta được:
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Câu 48. Rút gọn biểu thức
A.
.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 49. Rút gọn biểu thức
A.
.
B.
C.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Câu 50. Nếu
thì khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 17
D.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
.
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 51. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Trang 18
Lý thuyết
a)
b)
c)
d)
Câu 52. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Áp dụng công thức
ta được :
Áp dụng công thức
ta được :
Câu 53. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
Áp dụng công thức
, ta được
.
Câu 54. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
Trang 19
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
a)
b)
c)
d)
Câu 55. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
a)
b)
Trang 20
c)
d)
Câu 56. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
ĐÚNG
a)
b)
c)
d)
Câu 57. Công thức nào sau đây đúng?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
Lý thuyết
Trang 21
Câu 58. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
.
c)
d)
Câu 59. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Trang 22
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
SAI
SAI
Lý thuyết
Câu 60. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
SAI
SAI
.
.
Câu 61. Cho
là hai góc nhọn và
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
Trang 23
Vì
nên suy ra
Khi đó
Vậy
Câu 62. Cho
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
Ta có
Tương tự, có
Câu 63. Cho
với
suy ra
với
suy ra
và
.
a)
Trang 24
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
SAI
ĐÚNG
Ta có
suy ra
Lại có
vì
Mặt khác
Khi đó
Câu 64. Cho
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
ĐÚNG
ĐÚNG
Ta có
Trang 25
Khi đó
vì
Vậy giá trị của biểu thức
Câu 65. Cho góc
thỏa mãn
và
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
ĐÚNG
Đặt
Với
Vì
nên ta chọn
Từ hệ thức
Vì
Ta có
.
, suy ra
nên ta chọn
.
.
Với
.
Trang 26
Khi đó
, suy ra
Thay
vào
Câu 66. Cho góc
.
, ta được
. Suy ra
thỏa mãn
.
và
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
Vì
suy ra
Vì
suy ra
nên
.
Ta có
.
Suy ra
Do
.
nên
.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Trang 27
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 67. Biết
a)
Hãy tính
.
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
SAI
ĐÚNG
Ta có
mà
Tương tự, ta có
mà
Khi đó :
Câu 68. Cho hai góc nhọn
và biết rằng
a)
b)
c)
Trang 28
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
SAI
Vì
là góc nhọn nên
Vì
là góc nhọn nên
Câu 69. Cho
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Ta có
.
.
Trang 29
Câu 70. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Cho góc
thỏa mãn
và
, ta có
b) Cho góc
thỏa mãn
, ta có
.
.
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
a) Ta có
.
Từ hệ thức
Do
, suy ra
.
nên ta chọn
b) Áp dụng
.
Ta có
.
c)
Ta có
.
Do đó
d) Ta có
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Trang 30
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 71. Tính giá trị
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Câu 72. Tính giá trị của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức nhân đôi
.
Ta có
.
.
Câu 73. Tính giá trị của biểu thức
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
Khi đó
Trang 31
Và
Vậy
Câu 74. Cho góc
thỏa mãn
và
. Tính
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
Thay
, suy ra
nên ta chọn
và
.
.
vào
, ta được
Câu 75. Tính giá trị của biểu thức
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
và
.
Do đó
Câu 76. Tính giá trị của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
Ta có
Trang 32
Vậy giá trị biểu thức
Câu 77. Cho góc
.
thỏa mãn
và
Tính
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Từ hệ thức
.
Do
nên ta chọn
Câu 78. Cho góc
thỏa mãn
Tính
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
, ta được
Ta có
Thay vào
, ta được
Câu 79. Cho góc
thỏa mãn
. Tính
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Thay
Câu 80. Cho góc
.
vào
, ta được
thỏa mãn
.
và
. Tính
Trả lời: ………………..
Trang 33
.
Lời giải
Ta có
.
Từ hệ thức
, suy ra
Do
.
nên ta chọn
Thay
và
Câu 81. Cho góc
vào
thỏa mãn
.
, ta được
.
. Tính
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
.
Nhắc lại công thức: Nếu đặt
Do đó
thì
và
,
Thay
và
Câu 82. Cho
.
.
vào
, ta được
.
. Tính giá trị:
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Câu 83. Nếu
;
là hai nghiệm của phương trình
là hai nghiệm của phương trình
, tính tích
Trả lời: ………………..
Lời giải
Theo định lí Viet, ta có
và
Khi đó
Trang 34
. Và
theo
.
;
Vậy
Câu 84. Tính
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Sử dụng công thức:
(công thức tính theo
)
Khi đó:
Câu 85. Rút gọn biểu thức
ta được dạng:
. Tính giá trị
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:
Câu 86. Rút
.
gọn
biểu
thức
ta
. Tính giá trị
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:
Vậy
Trang 35
được
dạng:
Câu 87. Rút gọn biểu thức
. Tính giá trị
ta được dạng:
. với
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
.
Do đó:
Vậy
Câu 88. Rút
gọn
biểu
thức
ta
, với
. Tính giá trị
được
dạng:
, với
.
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Do đó
Câu 89. Rút gọn biểu thức
Tính giá trị
ta được dạng:
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Trang 36
Suy ra
.
Do đó
Câu 90. Cho biết vòm cổng rộng 120cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27cm (hình vẽ).
Tính
và
, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng
phần mười.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có AH = 120. Suy ra R = 120 : 2 = 60 (cm)
Do
nên
Câu 91. Trong hình vẽ bên dưới, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt tua-bin gió. Biết các cánh
quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là
OM) là
.
Trang 37
và số đo góc (OA,
a) Tính
và
b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so
với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Trả lời: ………………..
Lời giải
a)
b)
Câu 92. Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm
bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất,
cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (hình vẽ). Hãy tính số đo góc ACB
(phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là
CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).
Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 38
Gọi D, E nằm trên đường thẳng CK sao cho BD, AE ∥ HK.
Từ hình vẽ, ta có:
Ta có:
Áp dụng công thức
Suy ra:
Câu 93. Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là
bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí
. Gọi
. Để đảm
lần lượt là vị trí thấp
nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (tham khảo hình vẽ). Hãy tính số
đo góc
(phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung
cư thứ hai là
,
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Trang 39
Câu 94. Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác
cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất
tại một vị trí cách chân cột 15 m (hình vẽ).
a) Tính
, ở đó
là góc giữa hai sợi cáp trên.
b) Tìm góc
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
Trả lời: ………………..
Lời giải
a) Gọi
là góc tạo thành của sợi cáp R với mặt đất; là góc tạo thành của sợi cáp S với mặt đất.
Do đó:
Áp dụng công thức
Ta có:
b) Ta có:
Câu 95. Trong vẽ bên dưới, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ
điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn CADˆ=30o. Tính tanBADˆ, từ đó tính độ dài cạnh CD.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 40
Ta có:
Áp dụng công thức
Ta có:
DẠNG 2
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.
Cho
có
và
. Khi đó giá trị
Trang 41
là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
(loại TH
Câu 2.
vì
Cho
mà
nên không thỏa mãn)
là các góc của tam giác
. Khi đó
tương
đương với:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Do
Áp dụng, ta được
.
Câu 3.
Cho
có
. Khi đó
là:
A. tam giác vuông
B. tam giác cân
C. tam giác nhọn
D. tam giác tù
Lời giải
Chọn A.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Trang 42
Khi đó thay vào đẳng thức đã cho ta được:
vuông tại A.
Câu 4.
Cho
là các góc của tam giác
(không phải tam giác vuông). Khi đó
tương đương với :
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
.
Mà
. Khi đó, ta được
Câu 5.
có
. Khi đó
là tam giác nào sau đây?
A. tam giác cân
B. tam giác vuông
C. tam giác đều
D. tam giác tù
Lời giải
Trang 43
Chọn C.
Dễ thấy nếu
Xét
thì đẳng thức đã cho đúng
loại B và D.
cân:
+ Tại
đều.
+ Tại
Giả sử
Thử máy tính thấy không thỏa mãn.
Nếu
thì thỏa mãn
đều.
+ Tại
đều.
Vậy
đều.
Câu 6. Cho
là các góc của tam giác
.
Khi đó
tương đương với:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn A.
Do
.
Câu 7.
Trong
, nếu
thì
là tam giác có tính chất nào sau đây?
Trang 44
A. Cân tại
B. Cân tại
C. Cân tại
D. Vuông tại
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Mặt khác
. Do đó, ta được
.
Câu 8.
Cho
có:
. Khi đó
A. tam giác vuông
B. tam giác cân
C. tam giác nhọn
D. tam giác tù
là:
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
cân tại C
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 9. Tam giác
có
và
.
a)
b)
c)
d)
Trang 45
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
là ba góc tam giác nên
Ta có
Mà
, do đó
Câu 10. Cho
là ba góc nhọn của tam giác
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Ta có
Trang 46
và đồng thời thỏa mãn
.
Câu 11. Cho
là các góc của tam giác
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Do
.
Áp dụng, ta được
Câu 12. Cho
a)
đều.
b)
cân tại
c)
vuông tại
có
. Khi đó xác định dạng của
.
.
Trang 47
. Chọn câu trả lời đúng nhất.
d)
vuông cân tại
.
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
(vì
Suy ra,
cân tại A hoặc
)
vuông tại A.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Câu 14. Cho biểu thức
. Giá trị
Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 48
nằm trong đoạn nào?
Ta có
Câu 15. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
lần lượt là a, b. Khi đó tích
a.b bằng bao nhiêu?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:
Câu 16. Biểu thức
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
, ta có
Ta có
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Do
Câu 18. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Tính
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Trang 49
.
Câu 19. Cho biểu thức
. Giá trị
nằm trong đoạn nào?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Trang 50
CÁC PHÉP ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
Chú ý:
2. Công thức góc nhân đôi
Chú ý:
Công thức hạ bậc
Công thức nhân ba
sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31
hoặc: sin thì 3sin 4sỉn , cos thì 4 cổ 3cô
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 1
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Chú ý:
DẠNG 1
Trang 2
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.
Biểu thức
A.
bằng:
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Câu 2.
A.
Biểu thức
bằng:
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Câu 3.
A.
Giá trị của biểu thức
B.
là:
C.
Lời giải
Chọn D.
Câu 4.
là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Trang 3
D.
Ta có:
là 11 nghiệm của phương trình
Câu 5.
Giá trị của biểu thức:
A. 0
là:
B.
C. 9
D. 8
Lời giải
Chọn B.
Câu 6.
A.
Tính giá trị của biểu thức
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Vì
nên suy ra
.
.
Câu 7.
Giá trị của biểu thức:
A. 9
B. 8
là:
C. 1
Lời giải
Chọn A.
Cách bấm máy: Nhập vào màn hình biểu thức:
Câu 8.
Rút gọn biểu thức
Trang 4
D. 0
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 9.
A.
Tính giá trị của biểu thức
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Vậy
Câu 10. Giá trị của biểu thức
A.
B.
là
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Câu 11. Giá trị đúng của biểu thức
A.
B.
bằng
C.
Lời giải
Chọn C.
Trang 5
D.
Ta có
.
Câu 12. Giá trị của biểu thức
A.
là
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Áp dụng công thức
Câu 13. Cho góc
ta có
thỏa mãn
A.
Tính
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Suy ra
Câu 14. Cho góc
thỏa mãn
A.
và
B.
. Tính
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
, suy ra
nên ta chọn
.
.
Trang 6
Thay
và
vào
Câu 15. Biết
, ta được
và
A.
.
. Tính
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
, suy ra
nên ta chọn
.
.
Suy ra
Câu 16. Cho góc
A.
.
thỏa mãn
B.
Tính
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Suy ra
Câu 17. Cho
A.
. Khi đó biểu thức
là:
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Câu 18. Tính giá trị biểu thức
biết
Trang 7
.
A.
B. 1
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Câu 19. Cho góc
thỏa mãn
A.
và
. Tính
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
, suy ra
nên ta chọn
Thay
Câu 20. Cho góc
và
.
vào
thỏa mãn
A.
.
, ta được
.
và
. Tính
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
Thay
, suy ra
nên ta chọn
và
.
.
vào
, ta được
Trang 8
.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 21. Cho góc
A.
thỏa mãn
và
. Tính
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
.
Từ hệ thức
, suy ra
.
Do
nên ta chọn
. Suy ra
Thay
vào
.
Câu 22. Cho góc
A.
, ta được
.
thỏa mãn
. Tính
B.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Từ giả thiết
Thay
.
vào
, ta được
Trang 9
Câu 23. Cho góc
thỏa mãn
A.
và
. Tính
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
.
Từ hệ thức
Vì
,
.
cùng dấu và
Do đó ta chọn
Thay
nên
.
. Suy ra
và
Câu 24. Cho góc
vào
thỏa mãn
A.
.
, ta được
và
. Tính
B.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C.
Với
suy ra
.
Ta có
.
Từ hệ thức
, suy ra
(do
Vậy
Câu 25. Cho
A.
).
.
và thỏa mãn
B.
,
. Góc
C.
Lời giải
Trang 10
có giá trị bằng
D.
Chọn B.
Ta có
Câu 26. Cho
suy ra
là các góc nhọn và dương thỏa mãn
A.
B.
Tổng
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Mặt khác
suy ra
Câu 27. Nếu
là ba góc nhọn thỏa mãn
A.
Do đó
B.
thì
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Vậy tổng ba góc
Câu 28. Tính
A.
(vì
là ba góc nhọn).
biết:
B.
C.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Trang 11
D.
bằng
Câu 29. Cho
A. 1
. Khi đó giá trị
là:
B.
C.
D. 3
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
Câu 30. Giả sử
A.
với
. Khi đó tổng
B.
bằng:
C. 1
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Câu 31. Nếu
A.
thì giá trị đúng của
B.
C.
Trang 12
là
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Câu 32. Nếu
với
thì
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Câu 33. Nếu
và
A.
B.
thì
bằng
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Từ giả thiết, ta có
Suy ra
Mặt khác
Câu 34. Nếu
nên suy ra
và
là hai nghiệm của phương trình
thì
bằng
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn A.
Trang 13
D.
Vì
là hai nghiệm của phương trình
nên theo định lí Viet, ta có
Khi đó
Câu 35. Nếu
và
là hai nghiệm của phương trình
thức
thì giá trị biểu
bằng:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Vì
là hai nghiệm của phương trình
nên theo định lí Viet, ta có
Khi đó
Câu 36. Thu gọn biểu thức:
A.
với
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Câu 37. Rút gọn
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B.
Trang 14
D.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 38. Rút gọn biểu thức
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Vì hai góc
và
phụ nhau nên
Suy ra
Câu 39. Rút gọn biểu thức
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Câu 40. Rút gọn
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 41. Rút gọn
A.
B.
C.
Trang 15
D.
Lời giải
Chọn B.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 42. Rút gọn
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 43. Giá trị nào sau đây của
A.
thỏa mãn
B.
?
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức
, ta được
Câu 44. Gọi
A.
thì
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
.
Câu 45. Gọi
thì
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Trang 16
Ta có:
.
Câu 46. Rút gọn biểu thức
A.
.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Câu 47. Thu gọn biểu thức
A.
ta được:
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Câu 48. Rút gọn biểu thức
A.
.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 49. Rút gọn biểu thức
A.
.
B.
C.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Câu 50. Nếu
thì khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 17
D.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
.
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 51. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Trang 18
Lý thuyết
a)
b)
c)
d)
Câu 52. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Áp dụng công thức
ta được :
Áp dụng công thức
ta được :
Câu 53. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
Áp dụng công thức
, ta được
.
Câu 54. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
Trang 19
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
a)
b)
c)
d)
Câu 55. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
a)
b)
Trang 20
c)
d)
Câu 56. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
ĐÚNG
a)
b)
c)
d)
Câu 57. Công thức nào sau đây đúng?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
Lý thuyết
Trang 21
Câu 58. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
.
c)
d)
Câu 59. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Trang 22
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
SAI
SAI
Lý thuyết
Câu 60. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
SAI
SAI
.
.
Câu 61. Cho
là hai góc nhọn và
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
Trang 23
Vì
nên suy ra
Khi đó
Vậy
Câu 62. Cho
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
Ta có
Tương tự, có
Câu 63. Cho
với
suy ra
với
suy ra
và
.
a)
Trang 24
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
SAI
ĐÚNG
Ta có
suy ra
Lại có
vì
Mặt khác
Khi đó
Câu 64. Cho
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
ĐÚNG
ĐÚNG
Ta có
Trang 25
Khi đó
vì
Vậy giá trị của biểu thức
Câu 65. Cho góc
thỏa mãn
và
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
ĐÚNG
Đặt
Với
Vì
nên ta chọn
Từ hệ thức
Vì
Ta có
.
, suy ra
nên ta chọn
.
.
Với
.
Trang 26
Khi đó
, suy ra
Thay
vào
Câu 66. Cho góc
.
, ta được
. Suy ra
thỏa mãn
.
và
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
Vì
suy ra
Vì
suy ra
nên
.
Ta có
.
Suy ra
Do
.
nên
.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Trang 27
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 67. Biết
a)
Hãy tính
.
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
SAI
ĐÚNG
Ta có
mà
Tương tự, ta có
mà
Khi đó :
Câu 68. Cho hai góc nhọn
và biết rằng
a)
b)
c)
Trang 28
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
SAI
Vì
là góc nhọn nên
Vì
là góc nhọn nên
Câu 69. Cho
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Ta có
.
.
Trang 29
Câu 70. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Cho góc
thỏa mãn
và
, ta có
b) Cho góc
thỏa mãn
, ta có
.
.
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
a) Ta có
.
Từ hệ thức
Do
, suy ra
.
nên ta chọn
b) Áp dụng
.
Ta có
.
c)
Ta có
.
Do đó
d) Ta có
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Trang 30
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 71. Tính giá trị
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Câu 72. Tính giá trị của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức nhân đôi
.
Ta có
.
.
Câu 73. Tính giá trị của biểu thức
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
Khi đó
Trang 31
Và
Vậy
Câu 74. Cho góc
thỏa mãn
và
. Tính
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
.
Từ hệ thức
Do
Thay
, suy ra
nên ta chọn
và
.
.
vào
, ta được
Câu 75. Tính giá trị của biểu thức
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
và
.
Do đó
Câu 76. Tính giá trị của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
Ta có
Trang 32
Vậy giá trị biểu thức
Câu 77. Cho góc
.
thỏa mãn
và
Tính
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Từ hệ thức
.
Do
nên ta chọn
Câu 78. Cho góc
thỏa mãn
Tính
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
, ta được
Ta có
Thay vào
, ta được
Câu 79. Cho góc
thỏa mãn
. Tính
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Thay
Câu 80. Cho góc
.
vào
, ta được
thỏa mãn
.
và
. Tính
Trả lời: ………………..
Trang 33
.
Lời giải
Ta có
.
Từ hệ thức
, suy ra
Do
.
nên ta chọn
Thay
và
Câu 81. Cho góc
vào
thỏa mãn
.
, ta được
.
. Tính
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
.
Nhắc lại công thức: Nếu đặt
Do đó
thì
và
,
Thay
và
Câu 82. Cho
.
.
vào
, ta được
.
. Tính giá trị:
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Câu 83. Nếu
;
là hai nghiệm của phương trình
là hai nghiệm của phương trình
, tính tích
Trả lời: ………………..
Lời giải
Theo định lí Viet, ta có
và
Khi đó
Trang 34
. Và
theo
.
;
Vậy
Câu 84. Tính
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Sử dụng công thức:
(công thức tính theo
)
Khi đó:
Câu 85. Rút gọn biểu thức
ta được dạng:
. Tính giá trị
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:
Câu 86. Rút
.
gọn
biểu
thức
ta
. Tính giá trị
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:
Vậy
Trang 35
được
dạng:
Câu 87. Rút gọn biểu thức
. Tính giá trị
ta được dạng:
. với
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
.
Do đó:
Vậy
Câu 88. Rút
gọn
biểu
thức
ta
, với
. Tính giá trị
được
dạng:
, với
.
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Do đó
Câu 89. Rút gọn biểu thức
Tính giá trị
ta được dạng:
.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Trang 36
Suy ra
.
Do đó
Câu 90. Cho biết vòm cổng rộng 120cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27cm (hình vẽ).
Tính
và
, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng
phần mười.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có AH = 120. Suy ra R = 120 : 2 = 60 (cm)
Do
nên
Câu 91. Trong hình vẽ bên dưới, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt tua-bin gió. Biết các cánh
quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là
OM) là
.
Trang 37
và số đo góc (OA,
a) Tính
và
b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so
với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Trả lời: ………………..
Lời giải
a)
b)
Câu 92. Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm
bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất,
cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (hình vẽ). Hãy tính số đo góc ACB
(phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là
CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).
Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 38
Gọi D, E nằm trên đường thẳng CK sao cho BD, AE ∥ HK.
Từ hình vẽ, ta có:
Ta có:
Áp dụng công thức
Suy ra:
Câu 93. Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là
bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí
. Gọi
. Để đảm
lần lượt là vị trí thấp
nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (tham khảo hình vẽ). Hãy tính số
đo góc
(phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung
cư thứ hai là
,
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Trang 39
Câu 94. Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác
cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất
tại một vị trí cách chân cột 15 m (hình vẽ).
a) Tính
, ở đó
là góc giữa hai sợi cáp trên.
b) Tìm góc
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
Trả lời: ………………..
Lời giải
a) Gọi
là góc tạo thành của sợi cáp R với mặt đất; là góc tạo thành của sợi cáp S với mặt đất.
Do đó:
Áp dụng công thức
Ta có:
b) Ta có:
Câu 95. Trong vẽ bên dưới, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ
điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn CADˆ=30o. Tính tanBADˆ, từ đó tính độ dài cạnh CD.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 40
Ta có:
Áp dụng công thức
Ta có:
DẠNG 2
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word
có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.
Cho
có
và
. Khi đó giá trị
Trang 41
là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
(loại TH
Câu 2.
vì
Cho
mà
nên không thỏa mãn)
là các góc của tam giác
. Khi đó
tương
đương với:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Do
Áp dụng, ta được
.
Câu 3.
Cho
có
. Khi đó
là:
A. tam giác vuông
B. tam giác cân
C. tam giác nhọn
D. tam giác tù
Lời giải
Chọn A.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Trang 42
Khi đó thay vào đẳng thức đã cho ta được:
vuông tại A.
Câu 4.
Cho
là các góc của tam giác
(không phải tam giác vuông). Khi đó
tương đương với :
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
.
Mà
. Khi đó, ta được
Câu 5.
có
. Khi đó
là tam giác nào sau đây?
A. tam giác cân
B. tam giác vuông
C. tam giác đều
D. tam giác tù
Lời giải
Trang 43
Chọn C.
Dễ thấy nếu
Xét
thì đẳng thức đã cho đúng
loại B và D.
cân:
+ Tại
đều.
+ Tại
Giả sử
Thử máy tính thấy không thỏa mãn.
Nếu
thì thỏa mãn
đều.
+ Tại
đều.
Vậy
đều.
Câu 6. Cho
là các góc của tam giác
.
Khi đó
tương đương với:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn A.
Do
.
Câu 7.
Trong
, nếu
thì
là tam giác có tính chất nào sau đây?
Trang 44
A. Cân tại
B. Cân tại
C. Cân tại
D. Vuông tại
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Mặt khác
. Do đó, ta được
.
Câu 8.
Cho
có:
. Khi đó
A. tam giác vuông
B. tam giác cân
C. tam giác nhọn
D. tam giác tù
là:
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
cân tại C
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 9. Tam giác
có
và
.
a)
b)
c)
d)
Trang 45
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
là ba góc tam giác nên
Ta có
Mà
, do đó
Câu 10. Cho
là ba góc nhọn của tam giác
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
ĐÚNG
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Ta có
Trang 46
và đồng thời thỏa mãn
.
Câu 11. Cho
là các góc của tam giác
.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
Do
.
Áp dụng, ta được
Câu 12. Cho
a)
đều.
b)
cân tại
c)
vuông tại
có
. Khi đó xác định dạng của
.
.
Trang 47
. Chọn câu trả lời đúng nhất.
d)
vuông cân tại
.
Lời giải
a)
b)
c)
d)
SAI
SAI
ĐÚNG
ĐÚNG
(vì
Suy ra,
cân tại A hoặc
)
vuông tại A.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Câu 14. Cho biểu thức
. Giá trị
Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 48
nằm trong đoạn nào?
Ta có
Câu 15. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
lần lượt là a, b. Khi đó tích
a.b bằng bao nhiêu?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:
Câu 16. Biểu thức
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
, ta có
Ta có
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Do
Câu 18. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Tính
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Trang 49
.
Câu 19. Cho biểu thức
. Giá trị
nằm trong đoạn nào?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
Trả lời: ………………..
Trang 50