BÀI 2
TẬP HỢP. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1. Tập hợp
Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản trong toán học.
  Để chỉ

là một phần tử của tập hợp

, ta viết

  Để chỉ x không phải một phần tử của tập hợp

(đọc là
, ta viết

thuộc
(đọc là

).
không thuộc

).

Biểu diễn tập hợp bằng một trong 2 cách:
 Cách liệt kê các phần tử của tập hợp
  Cách nêu tính chất đặc trưng các phần tử của tập hợp
Ví dụ 1:
- Liệt kê các phần tử
- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử
Người ta còn minh hoạ tập hợp bằng một vòng kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu diễn bởi một
chấm bên trong vòng kín, còn phẩn tử không thuộc tập hợp đó được biểu diễn bởi một chấm bên ngoài
vòng kín . Cách minh họa tập hợp như vậy được gọi là biểu đồ Ven.
Ở hình dưới, các phần tử thuộc tập hợp

là

; phần tử không thuộc tập hợp

là .

Nhận xét 
 Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là

 

  Một tập hợp có thể không có phần tử nào, cũng có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số
phần tử. 
Chú ý: Khi tập hợp

là tập hợp rỗng, ta viết

và không được viết là

2. Tập con và tập hợp bằng nhau
a. Tập con
Nếu mọi phần tử của tập hợp
viết là

. Ta còn đọc là

Quy ước: Tập hợp rỗng

đề là phần tử của tập hợp

chứa trong

.

được coi là tập con của mọi tập hợp.

Chú ý:
 
  Khi

, ta cũng viết

(đọc là:

chứa
Trang 1

).

thì ta nói

là một tập con của

và

Nếu

không phải là tập con của

thì kí hiệu

.

Tính chất


và

 Nếu

với mọi tập hợp
và

thì

.

.

b. Hai tập hợp bằng nhau
Khi

và

thì ta nói hai tập hợp

Ví dụ 2: Cho 2 tập hợp:

{

}. Hỏi hai tập hợp

và

và

bằng nhau, viết là

là bội chung của 2 và 3;

} và

.
{

là bội của 6;

có bằng nhau không?
Lời giải

Ta có: 2 = 2, 3 = 3
⇒ BCNN(2; 3) = 2.3 = 6
⇒ BC(2; 3) = B(6) ={0; 6; 12; 18}
⇒ S = {0; 6; 12; 18}
Ta có các bội của 6 và nhỏ hơn 20 là: 0; 6; 12; 18.
T = {0; 6; 12; 18}.
Vậy S = T.
3. Giao của hai tập hợp
Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp
, kí hiệu

.

Vậy

{

Tập hợp

Chú ý:

và

} hay

vừa thuộc tập hợp
và

được minh hoạ bởi phần gạch chéo trong hình sau

khi và chỉ khi

và

. 

4. Hợp của hai tập hợp
Trang 2

được gọi là giao của

và

Tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp
hợp

và

, kí hiệu

Vậy

được gọi là hợp của hai tập

.

{

Tập hợp

hoặc thuộc tập hợp

hoặc

} hay

hoặc

được minh hoạ bởi phần gạch chéo trong hình sau

Chú ý:

khi và chỉ khi

hoặc

. 

5. Phần bù. Hiệu của hai tập hợp
Cho tập hợp
của

là tập con của tập hợp

được gọi là phần bù của
Tập hợp

, kí hiệu

mà không phải là phần tử

.

được mô tả bởi phần gạch chéo trong hình sau

Tập hợp các phần tử thuộc
Vậy

trong

. Tập hợp những phần tử của

{

Tập hợp

Chú ý: Nếu

và

nhưng không thuộc

được gọi là hiệu của

và

, kí hiệu

.

}

được minh hoạ bởi phần gạch chéo trong hình sau

thì

6. Các tập hợp số
a. Các tập hợp số đã học
 Tập hợp các số tự nhiên
 Tập hợp các số nguyên

, ngoài ra
gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm:

 Tập hợp các các số hữu tỉ  gồm các số viets dưới dạng phân số

với

.

Số hữu tỉ số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.
 Tập hợp các các số vô tỉ : Tập hợp các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần
hoàn.
Trang 3

 Tập số thực  gồm tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ. Tập số thực được biểu diễn bằng trục số.
Mối quan hệ giữa các tập hợp số:

b. Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực
Tên gọi và kí hiệu

Tập hợp

Hình biểu diễn trên trục số


Tập số thực

+

0

Đoạn

a
////////////////////// [

b
] //////////////////////

Khoảng

a
////////////////////// (

b
) //////////////////////

a
) //////////////////////

Khoảng

a
////////////////////// (

Khoảng

Nửa khoảng

a
////////////////////// [

b
) //////////////////////

Nửa khoảng

a
////////////////////// (

b
] //////////////////////

a
]//////////////////////

Nửa khoảng

a
////////////////////// [

Nửa khoảng

Kí hiệu

đọc là âm vô cực, kí hiệu

đọc là dương vô cực;

và

được gọi là đầu mút của các

đoạn, khoảng, nữa khoảng.
Ta cũng có thể biểu diễn tập hợp trên trục số bằng cách gạch bỏ phần không thuộc đoạn đó, chẳng
hạn đoạn

có thể biểu diễn như sau:
Trang 4

a
////////////////////// [

b
] //////////////////////

PHẦN A
TỰ LUẬN
Trang 5

DẠNG 1
XÁC ĐỊNH TẬP HỢP

Bài 1.

Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó.

a)

b)

c)
Lời giải
a)
Ta có:
Vì

nên

.

b)
Ta có
Vì

.
nên

.

c)
Ta có:
Bài 2.

.
Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó.

a)

b)
Lời giải

a)

Ta có

Vậy

.

.

b)

Trang 6

Ta có

.

Vậy

.

Bài 3.

*Tính tổng tất cả các phần tử của các tập hợp sau:

a)

.

b)
Lời giải

a)

.

Ta có

. Vì

Suy ra

. Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp

nên loại

là

.

.

b)

Ta có

.

Suy ra

.

Vậy tổng các phần tử của tập hợp
Bài 4.

là

.

Xác định số phần tử của tập hợp

.
Lời giải

Tập hợp

gồm các phần tử là những số tự nhiên nhỏ hơn

Từ

đến

cho

. Suy ra có

Vậy có tất cả
Bài 5.

có

số tự nhiên, ta thấy cứ
số tự nhiên chia hết cho

số tự nhiên nhỏ hơn

và chia hết cho .

số tự nhiên liên tiếp sẽ có duy nhất một số chia hết
từ

đến

và chia hết cho

.
.

Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

a)

b)
Lời giải

a)
Ta nhận thấy các phần tử của tập hợp

là các số tự nhiên và nhỏ hơn 5.
Trang 7

Do đó

.

b)
Ta có

,

,

Do đó ta viết lại tập hợp
Bài 6.

,

và các số

đều là bội của 3.

bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là

Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp

.

gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 25.
Lời giải

Ta có

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 7. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
a) A = {x   | x2  9 = 0}

b) B = {x   | 6x2 – 5x + 1 = 0}

c) C = {x   | (2x  1)(x2  5x + 6) = 0}

c) D = {x   | (2x + x2)(x2 + x – 2)(x2 – x – 12) = 0}

Bài 8. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
a)

b)

c)

c)

Bài 9. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
a) A= {(x ; x2) | x  {–1;0;1}}

b) B= {(x ;y)|x2 + y2  2 và x,y  }

Bài 10.Viết các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng của chúng
a)

;

b)

DẠNG 2
TẬP CON CỦA TẬP HỢP SỐ THỰC

1. Tập con
Trang 8

;

Nếu mọi phần tử của tập hợp
viết là

. Ta còn đọc là

 Tập hợp rỗng

đề là phần tử của tập hợp

chứa trong

thì ta nói

là một tập con của

và

.

được coi là tập con của mọi tập hợp.

 
  Khi

, ta cũng viết

(đọc là:

chứa

 Nếu

không phải là tập con của

thì kí hiệu



và

.

 Nếu

với mọi tập hợp
và

thì

).

.

.

2. Hai tập hợp bằng nhau
Khi

và

thì ta nói hai tập hợp

và

bằng nhau, viết là

.

 Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 10 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
 Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
 Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
 Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
 Giáo viên và học sinh tham gia nhóm sau để cật nhật tài liệu mới
https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
Bài 1.

Cho

a)

. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.
.

b)

.

c)

.

Lời giải
a) Sai. Vì

là ký hiệu phần tử, viết đúng phải là :

b) Đúng.
c) Sai. Vì

là 1 tập hợp. không phải là phần tử của
Trang 9

. Viết đúng phải là :

.

Bài 2.

Cho tập hợp

. Tính số tập con của X .
Lời giải

- Số tập con không có phần tử nào là 1 (tập
- Số tập con có 1 phần tử là 3:

)
.

- Số tập con có 2 phần tử là 3:

.

Số tập con có 3 phần tử là 1:
Vậy có

.

tập con.

Bài 3. Hãy xét quan hệ bao hàm của hai tập
a)

và

sau :

.

b)

.

c)

.

d)

.
Lời giải

a)

.
b)

.
c)

d)

.
Bài 4.

Cho tập hợp

và

. Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn:
Lời giải
Trang 10

?

X là tập hợp phải luôn có mặt 1 và 2.
Vì vậy ta đi tìm số tập con của tập

, sau đó cho hai phần tử 1 và 2 vào các tập con nói trên ta

được tập X.
Vì số tập con của tập
Bài 5.

Cho

là
,

nên có 8 tập X.
,

.Tìm

và

để

.

Lời giải
Các tập hợp bằng nhau nếu các phần tử của tập này cũng là phần tử của tập kia.
Vậy để cho

thì

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 6. Cho hai tập hợp : A = {n  |n là ước của 6}, B = {n  |n là ước chung của 6 và 18}. Hãy xét
quan hệ bao hàm của hai tập trên.
Bài 7. Hãy xét quan hệ bao hàm của 2 tập hợp A và B dưới đây. Hai tập hợp A và B có bằng nhau
không?
a) A là tập các hình vuông và B là tập các hình thoi
b) A = {n |n là ước của 6}, B ={n|n là ước chung của 24 và 30}
Bài 8.

Cho tập hợp

. Tính số tập con của X có hai phần tử.

Bài 9. Tìm tập hợp X sao cho {a,b}  X  {a,b,c,d}
Bài 10.Cho A = {1,2,3,4} ; B = {2,4,3} ; C = {2,3} ; D = {2,3,5}
a) Tìm tất cả các tập X sao cho C  X  B
b) Tìm tất cả các tập Y sao cho C  Y  A
Bài 11.Hãy xét quan hệ bao hàm của các tập hợp sau:
A là tập hợp các tam giác ;
B là tập hợp các tam giác đều ;
C là tập hợp các tam giác cân.
Bài 12.Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau đây :
A là tập các hình tứ giác ;
B là tập các hình bình hành ;
C là tập các hình vuông ;
D là tập các hình chữ nhật
Bài 13.Cho : Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông
T = tập hợp tất cả các tam giác
Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân
Tđ = tập hợp tất cả các tam giác đều
Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân
Xác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên.
Trang 11

DẠNG 3
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1. Giao của hai tập hợp
{

và

} hay

và

2. Hợp của hai tập hợp
{

hoặc

} hay

hoặc

3. Phần bù
Cho tập hợp
của

là tập con của tập hợp

được gọi là phần bù của

trong

. Tập hợp những phần tử của
, kí hiệu

mà không phải là phần tử

.

4. Hiệu của hai tập hợp
Tập hợp các phần tử thuộc
Vậy

Chú ý: Nếu

{

và

nhưng không thuộc
}

thì
Trang 12

được gọi là hiệu của

và

, kí hiệu

.

Bài 1. Cho hai tập hợp

. Xác định các tập hợp

,

,

,

Lời giải
Ta có :

Bài 2.

Cho tập

và tập

. Xác định phần bù của A trong X .
Lời giải

Vì

nên

Bài 3.

.

Cho

.

a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp
b) Hãy xác định các tập hợp

và
và

.
.
Lời giải

a) Ta có :

.



.



.

Khi đó :

.

b) Ta có :
nên

;

.
Bài 4.

Cho

là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình

giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4
a) Xác định tập hợp

.

b) Xác định tập hợp

.
Trang 13

;

là tập hợp các số có

c) Xác định tập hợp

.
Lời giải

Ta có

.
a)

.

b)

.

c)

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 5. Hãy xác định
Bài 6. Cho A = {1,2,3,4}; B = {2,4,6}; C = {1,3,5}. Xác định các tập hợp:
a) A  B, A  B, A  C, A  C, C  B, C  B.
b) A \ B, C \ A, (B \ A)  (C \ B), (C \ A)  (A \ B).
Bài 7. Cho A = {1,2,3,4,5} và B = {2,4,6,8}. Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A \ B, B \ A,
Bài 8. Cho A = {a, e, i, o} và B = {a, b, c, d, i, e, o, f}. Xác định các tập hợp: A  B, A \ B,

.
.

Bài 9. Cho tập E = {a, b, c, d} ; F = {b, c, e, g} ; G = {c, d, e, f}.
Chứng minh rằng
Bài 10.Cho A = {1,3,5,7}; B = {1,2,3,6}; E = {x  |x  8}.
a) Tìm
b) Chứng minh
Bài 11.Cho E = {x  ||x|  5}, F = {x  ||x|  5} và B = {x  |(x – 2)(x + 1)(2x2 – x – 3) = 0}
a) Chứng minh A  E và B  E
b) Tìm

rồi tìm quan hệ giữa hai tập này

c) Chứng minh rằng
Bài 12.Cho Cho ba tập hợp sau: A = {x  |x  6}, B = {x  |x  15}, C = {x  |x  30}. Chứng minh rằng
Bài 13.Cho hai tập hợp sau:
A = {x   | x2 + x – 12 = 0 và 2x2 – 7x + 3 = 0}
B = {x   | 3x2 – 13x + 12 =0 hoặc x2 – 3x = 0}.
Xác định các tập hợp sau đây A  B ; A\B ; B\A ; A  B.
Bài 14.Cho A = {x   | x < 7} và B = {1;2;3;6;7;8}
a) Xác định AB ; AB ; A\B ; B\A
b) Chứng minh rằng (AB)\(AB) = (A\B)(B\A)
Trang 14

Bài 15.Tìm tập hợp X sao cho A  X = B với A = {a,b}, B = {a,b,c,d}
Bài 16.Cho A = {1;2} ; B = {1;2;3;4;5}. Xác định các tập hợp X sao cho A X = B.
Bài 17.Tìm A, B biết A  B = {0;1;2;3;4}; A\B = {–3 ; –2} và B\A = {6 ; 9;10}.
Bài 18.Cho A = {x   | x2 < 4}; B = {x   | (5x – 3x2)(x2 – 2x – 3) = 0}.
a) Liệt kê A ; B
b) Chứng minh rằng: (AB) \ (AB) = (A\B)  (B\A)

Tên gọi và kí hiệu

Tập hợp

Hình biểu diễn trên trục số


Tập số thực

+

0

Đoạn

a
////////////////////// [

b
] //////////////////////

Khoảng

a
////////////////////// (

b
) //////////////////////

DẠNG 4
Khoảng

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ a

) //////////////////////

Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực
a
////////////////////// (

Khoảng

Nửa khoảng

a
////////////////////// [

b
) //////////////////////

Nửa khoảng

a
////////////////////// (

b
] //////////////////////

a
]//////////////////////

Nửa khoảng

Nửa khoảng

Trang 15

a
////////////////////// [

 Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 10 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
 Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
 Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
 Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
 Giáo viên và học sinh tham gia nhóm sau để cật nhật tài liệu mới
https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt

Bài 1.

Cho

tập hợp

và

,

. Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết

.
Trang 16

Lời giải

Bài 2.

Cho

tập hợp

và

,

. Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết

.
Lời giải

Bài 3.

Cho 2 tập hợp

và

. Tìm
Lời giải

A  B  0, 4
A  B  0,1, 2,3, 4,8,12,16

Bài 4.
a)
c)

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
.

b)
.

.

d)

.
Lời giải

a)

.

b)

.

c)

.

d)

Bài 5.

.

Cho các tập hợp sau:
Trang 17

và

?

a) Hãy viết lại các tập hợp

dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

b) Tìm

.

c) Tìm

.
Lời giải

a) Ta có:
.
b)

c) Ta có

và

Suy ra
Bài 6.

Cho

,

,

. Hãy xác định và biểu diễn

các tập hơp sau trên trục số.
a)

.

b)

.
Lời giải

a)

.

;
Biểu diễn trên trục số

b)

.
;

Biểu diễn trên trục số

Trang 18

Bài 7.

Cho

,

,

. Hãy xác định và biểu diễn

các tập hơp sau trên trục số.
a)

b)
Lời giải

a)
;
Biểu diễn trên trục số

b)
;
Biểu diễn trên trục số

Bài 8.

Cho hai tập hợp

và

a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp
b) Tìm

.

.

.
Lời giải

Cho hai tập hợp

và

a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp

.

.

Ta có:

.
b) Tìm

.

Ta có:
Bài 9.

Cho

,

. Tìm

.
Lời giải

Cho

,

. Tìm

.

Trang 19

Bài 10. Cho

,

. Tìm điều kiện cần và đủ của

để

là tập con của

?

Lời giải
-∞

Ta có:

2

khi và chỉ khi

Bài 11. Cho hai tập hợp

+∞

B=(m;+∞)

.
và

. Tìm tất cả giá trị của tham số

để

.

Lời giải
Ta có:

. Vậy

Bài 12. Cho các tập hợp
Tìm tất cả các số thực

.
và

để

.

.
Lời giải

Đặt

.
.

Bài 13. Cho các tập hợp

và

với

. Tìm tất cả các số thực

để

là một khoảng có độ dài bằng 16 .
Lời giải
Điều kiện để
Khi đó

là

.

.

Độ dài khoảng

bằng

(do

Bài 14. Cho hai tập hợp

và

hợp

.

là một đoạn có độ dài bằng

).

. Tìm tất cả các giá trị của tham số
Lời giải

Nhận xét: Kí hiệu

là độ dài của khoảng/nửa khoảng/đoạn

, khi đó

* TH1:
* TH2:

;

.
. không có giá trị nào của

Vậy
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Trang 20

thỏa mãn TH2.

.

để

Bài 15. Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
a)
b)
c)
Bài 16. Cho

. Sử dụng các kí hiệu

khoảng, đoạn để viết tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
Bài 17.Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số.
a) [–3;1)  (0;4]

b) [–3;1)  (0;4]

c) (–;1)  (2;+)

d) (–;1)  (2;+)

Bài 18.Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng lên trục số
a) \ ((0;1)  (2;3))

b) \ ((3;5)  (4;6))

c) (–2;7)\ [1;3]

d) ((–1;2)  (3;5))\ (1;4)

Bài 19.Cho tập hợp A = (–2;3) và B = [1;5). Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 20.Cho hai tập hợp A = {2,7} và B = (–3;5]. Xác định các tập hợp: A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 21.Cho A = {x  |– 3  x  5} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A\B, B\A.
Bài 22.Cho hai tập hợp A = {x  | x > 2} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định các tập hợp A  B, A  B, A\
B, B\A.
Bài 23.Cho A = {x   | |x |  4} ; B = {x   | –5 < x – 1  8}. Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng: A  B ; A\B ; B\A ; \(A B).
Bài 24.Cho A = {x   | x2  4} ; B = {x   | –2  x + 1 < 3}. Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng –
đoạn – nửa khoảng: AB ; A\B ; B\A ; \(AB).
Bài 25.Cho A = {x  |1  x  5}, B = {x  |4  x  7} và C = {x  |2  x < 6}
a) Hãy xác định A B, A C, B C, A C, A\(B C).
b) Gọi D = {x  |a  x  b}. Hãy xác định a,b để D  A B C.
Bài 26.Viết phần bù trong  của các tập hợp: A = {x   | – 2  x < 10}; B = {x   | |x | > 2}

;

C = {x   |–4 < x + 2  5}
Bài 27. Cho nửa khoảng

và đoạn

Bài 28.

và

Cho hai tập hợp

. Tìm tất cả các số thực

. Tìm tất cả các giá trị của số thực

để

để

khác

tập rỗng và A \ B  .









2
Bài 29. Cho A  x   mx  3 mx  3 , B  x   x  4 0 . Tìm m để B \ A B .

Bài 30. Cho hai tập hợp
để

,

khác rỗng. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của

.

Trang 21

DẠNG 5
SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN

Phương pháp giải toán bằng sơ đồ Ven:
Gồm 3 bước:
 Bước 1: Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp.
 Bước 2: Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp.
 Bước 3: Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức hoặc phương trình, hệ phương trình, từ
đó tìm được kết quả bài toán.
Chú ý:
 Nếu

và

là hai tập hợp hữu hạn thì

 Nếu

và

không có phần chung, tức là

Bài 1.

thì

Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động

người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có

người phiên dịch tiếng Anh,

người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy

trả lời các câu hỏi sau:
a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Trang 22

a) Số người phiên dịch mà ban tổ chức huy động là :
b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng anh là :

người.
người.

c) Số người chỉ phiên dịch được ttiếng Pháp là :
Bài 2.

người.

Đội tuyển thi đá cầu và đấu cờ vua của Trường Nguyễn Văn Trỗi có 22 em, trong đó có 15 em

thi đá cầu và 12 em thi đấu cờ vua. Hỏi có bao nhiêu em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn ?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Dựa vào hình vẽ, ta thấy số em chỉ thi đá cầu là: 
22 – 12 = 10 (em)
Số em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn là:
15 – 10 = 5 (em)
Vậy có 5 em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn
Cách 2: số phần tử
Bài 3.

Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá

cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A 1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? Bao
nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Dựa vào biểu đồ Ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là
Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là

.

Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là

.

Trang 23

.

Bài 4.

Lớp 10A có 15 bạn thích môn tiếng Việt, 20 bạn thích môn Toán. Trong số các bạn thích Tiếng

Việt hoặc thích Toán có 8 bạn thích cả hai môn Tiếng Việt và Toán. Trong lớp vẫn còn có 10 bạn không
thích môn nào (trong hai môn Tiếng Việt và Toán). Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn tất cả?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Số bạn thích Toán nhưng không thích Tiếng việt: 20 – 8 = 12 (bạn)
Số bạn thích Tiếng việt nhưng không thích Toán: 15 – 8 = 7 (bạn)
Số học sinh của cả lớp là: 12 + 7+ 8 + 10 = 37 (bạn)
Vậy lớp 10A có 37 bạn
Bài 5.

Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu nói được một hoặc hai hoặc ba thứ

tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp. Biết rằng có 39 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 35 đại biểu nói được tiếng
Pháp, 8 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Số đại biểu nói được tiếng Pháp hoặc tiếng Nga là: 100 – 39 = 61 (đại biểu)
Số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Pháp là: 61 – 35 = 26 (đại biểu)
Số đại biểu chỉ nói được tiếng Nga là: 26 – 8 = 18 (đại biểu)
Vậy có 18 đại biểu chỉ nói được tiếng Nga
Bài 6.

Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu có thể sử dụng ít nhất một trong ba

thứ tiếng: Nga, Trung Quốc và Anh. Biết rằng có 30 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 40 đại biểu nói
được tiếng Nga, 45 đại biểu nói được tiếng Trung Quốc và 10 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Nga và
Trung Quốc. Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?
Trang 24

Lời giải
Sơ đồ ven minh họa

Số đại biểu nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung Quốc là: 100 – 30 = 70 (đại biểu)
Số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Trung Quốc là: 70 – 45 = 25 (đại biểu)
Số đại biểu nói được tiếng Trung Quốc nhưng không nói được tiếng Nga là: 70 – 40 = 30 (đại biểu)
Số đại biểu nói được tiếng Nga và tiếng Trung Quốc là: 70 – (25 + 30) = 15 (đại biểu)
Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là: 15 – 10 = 5 (đại biểu)
Vậy có 5 đại biểu nói được cả ba thứ tiếng
Bài 7.

Lớp 10A có

cả Toán và Lý,

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi hóa, học sinh giỏi

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

học sinh giỏi cả ba môn

Toán, Lý, Hóa. Tính học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A?
Lời giải
Sơ đồ ven minh họa
Lý

6

Toán
3

5

4

Hóa

Dựa vào biểu đồ Ven, ta có học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là
Số học sinh giỏi Toán:
Số học sinh giỏi Lý:

.
.

Số học sinh giỏi Hóa:

.

Ta lại có:
Số học sinh giỏi cả Toán và Lý: .
Số học sinh giỏi cả Toán và Hóa: .
Trang 25

Số học sinh giỏi cả Hóa và Lý: .
Và số học sinh giỏi cả Toán, Lý và Hóa là .
Số học sinh giỏi hơn một môn là

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 8.

Lớp 10A có 15 bạn đăng kí học ngoại khoá môn Văn, 12 bạn đăng kí học ngoại khoá môn

Toán, trong đó có 7 bạn đăng kí học cả Văn và Toán. Hỏi:
a) Có bao nhiêu bạn đăng kí học Văn hoặc Toán?
b) Có bao nhiêu bạn chỉ đăng kí học Văn? Bao nhiêu bạn chỉ đăng kí học Toán?
Bài 9.

Một lớp có 25 học sinh khá các môn tự nhiên, 24 học sinh khá các môn xã hội, 10 học sinh khá

cả 2 và 3 học sinh không khá môn nào.
a) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá tự nhiên.
b) Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá xã hội.
c) Lớp có bao nhiêu hoặc khá tự nhiên hoặc khá xã hội.
d) Lớp có bao nhiêu em học sinh.
Bài 10. Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có 7
bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi.
a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết muốn được khen thưởng thì hoặc học sinh giỏi hoặc
có hạnh kiểm tốt.
b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xét học lực giỏi và hạnh kiểm tốt. 
Bài 11. Trường Nguyễn Văn Trỗi có 40 em học sinh dự thi ba môn: nhảy dây, chạy và đá cầu. Trong đó
có 8 em chỉ thi nhảy dây, 20 em thi chạy và 18 em thi đá cầu. Hỏi có bao nhiêu em vừa thi chạy vừa thi
đá cầu?
Bài 12. Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng Anh, 25
cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp.
a) Hỏi ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó.
b) Hỏi có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh, chỉ dịch được tiếng Pháp?
Bài 13. Lớp 10A có 35 học sinh làm bài kiểm tra Toán. Đề bài gồm có 3 bài toán. Sau khi kiểm tra, cô
giáo tổng hợp được kết quả như sau:  Có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán thứ
hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 5 em giải được bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giải được bài toán
thứ nhất và thứ hai, 6 em làm được bài toán thứ nhất và thứ ba, chỉ có 1 học sinh đạt điểm 10 vì đã giải
được cả 3 bài. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh không giải được bài toán nào?
Lớp
Lý,

có

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Toán và Hoá,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi cả Lý và Hoá,

Hoá. Số học sinh giỏi hai môn (Toán, Lý, Hoá ) của lớp
Lớp 10B có
Lý,

học sinh giỏi Toán,

học sinh giỏi cả Hóa và Lý,

học sinh giỏi Hoá,

học sinh giỏi Lý,

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

là bao nhiêu?
học sinh giỏi hóa,

học sinh giỏi cả Toán và Hóa,

học sinh giỏi cả Toán và

học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý,

Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B là bao nhiêu?
Trang 26

PHẦN B
TRẮC NGHIỆM GỒM BA PHẦN

 Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 10 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
 Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
 Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
 Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
 Giáo viên và học sinh tham gia nhóm sau để cật nhật tài liệu mới
https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Ký hiệu nào sau đây để chỉ

A.

B.

không phải là một số hữu tỉ?
C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Vì

chỉ là một phần tử còn

Câu 2.
A.

là một tập hợp nên các đáp án A, B, D đều sai.

Ký hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề: “3 là một số tự nhiên”?
B.

C.
Trang 27

D.

Lời giải
Chọn B.
- Đáp án A sai vì kí hiệu “

” chỉ dùng cho hai tập hợp mà ở đây “3” là một số

- Hai đáp án C và D đều sai vì ta không muốn so sánh một số với tập hợp.
Câu 3.

Liệt kê các phần tử của phần tử tập hợp

A.

B.

.
C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Vì phương trình
Câu 4.

có nghiệm

Cho tập hợp

A.

nên

.

. Tập hợp A là:
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Vì

nên

Câu 5.

.

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp

A.

B.

.
C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Vì phương trình
Vậy
Câu 6.

có nghiệm

nhưng vì

nên

.

.
Cho tập hợp

A. 0

. Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử?
B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải
Chọn C.
Vì

nên x, y thuộc vào tập

Vậy cặp

là

Câu 7.

Cho tập hợp

A.

thỏa mãn

Có 2 cặp hay M có 2 phần tử.
. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp
B.
Trang 28

C.

D.
Lời giải

Chọn B.
Ta có

.

Vì

nên
.

Câu 8.

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp:

.

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn D.
Giải phương trình
.
Câu 9.

Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn C.
Xét các đáp án:
- Đáp án A:

.

- Đáp án B: Giải phương trình:
- Đáp án C:

. Vì
. Vì

Đây là tập rỗng.

Câu 10. Cho tập hợp

. Khi đó tập hợp M có bao nhiêu phần tử?

A. 0

B. 1

C. 2
Lời giải

Chọn B.
Vì
nên

.

.
Trang 29

D. Vô số

Khi đó tập hợp M có 1 phần tử duy nhất là

.

…………………
Câu 40. Cho hai tập hợp
A.

. Tập nào sau đây bằng tập
B.

C.

?

D.

Lời giải
Chọn A.
Vì

gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

Câu 41. Cho hai tập hợp
A.

.

và
B.

.Tập hợp

bằng tập nào sau đây?

C.

D.

Lời giải
Chọn C

Câu 42. Cho

Tập hợp

A.

B.

bằng:

C.

D.

Lời giải
Chọn D

Câu 43. Cho các tập hợp
A.

. Khi đó:
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Câu 44. Cho tập hợp
trình

; B là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của b để phương

vô nghiệm. Số phần tử chung của hai tập hợp trên là:

A. 1

B. 2

C. 3
Lời giải

Chọn A.
Ta có:
Phương trình

có

Phương trình vô nghiệm
Trang 30

D. Vô số

Có

là phần tử chung duy nhất của hai tập hợp.

Câu 45. Cho hai tập
thuộc cả hai tập
A.

và

,

. Tất cả các số tự nhiên

là:

và

B.

C.

D. Không có.

Lời giải
Chọn A

Câu 46. Cho hai tập hợp
A.

;
B.

. Tìm
C.

.
D.

Lời giải
Chọn B.

Câu 47. Cho tập hợp
A.

. Tập
B.

là tập hợp nào sau đây?
C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Vì

là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X và vừa thuộc Y

Câu 48. Cho tập
A.

. Tập nào sau đây bằng tập
B.

C.

?
D.

Lời giải
Chọn C.
Vì

là tập hợp các phần tử thuộc X mà không thuộc Y

Câu 49. Cho hai tập hợp
A.

. Khi đó
B.

C.
Lời giải
Trang 31

là tập nào sau đây?
D.

Chọn C.

Ta có thể biểu diễn hai tập hợp A và B, tập
Câu 50. Cho tập hợp
A.

là phần không bị gạch ở cả A và B nên

và tập

. Khi đó

B.

là:

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Vì

nên chọn đáp án C.

Câu 51. Cho

. Khi đó

A.

là tập hợp nào sau đây?

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Vì với

hay

Câu 52. Cho hai tập hợp
A.

. Tập hợp
B.

C.

là:
D.

Lời giải
Chọn A.

.
Câu 53. Cho tập hợp
A.

. Khi đó

là:

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Ta có:

.

Câu 54. Cho
A.

Tìm
B.

C.
Lời giải

Chọn D
Trang 32

D.

.

.
Câu 55. Cho

,

A.

. Khi đó
B.

:

C.

D.

Lời giải
Chọn A
,

, suy ra

Câu 56. Cho 3 tập hợp
A.

.

,

,

. Khi đó

B.

bằng:

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
.
Câu 57. Cho hai tập hợp
A.

và

. Khi đó

B.

C.

bằng:
D.

Lời giải
Chọn A.

Câu 58. Cho hai tập hợp
A.

. Khi đó
B.

bằng:

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Ta có:

Xác định phần bù của tập hợp
A.

.

trong
B.

.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Ta có:

.

Câu 59. Cho hai tập hợp khác rỗng
nguyên dương của
A.

.

để

và

Có bao nhiêu giá trị

?
B.

.

C.
Trang 33

.

D. 3.

Lời giải
Chọn C
Ta có

là hai tập khác rỗng nên

(*).

Ta có

.

Đối chiếu với điều kiện (*), ta được
Vậy có 4 giá trị nguyên dương của

. Do

nên

.

thỏa mãn yêu cầu.

…………………………
Câu 71. Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14 học sinh giỏi cả môn
Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?
A. 54

B. 40

C. 26

D. 68

Lời giải
Chọn B.
Gọi T, L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý.

Ta có:
: là số học sinh giỏi Toán
: là số học sinh giỏi Lý
: là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý
Khi đó số học sinh của lớp là:

.

Mà

.

Vậy số học sinh của lớp là

.

Câu 72. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em
học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em
học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi l...