Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

PHẦN B
TRẮC NGHIỆM GỒM BA PHẦN

 Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 10 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
 Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
 Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
 Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
 Giáo viên và học sinh tham gia nhóm sau để cật nhật tài liệu mới
https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Trong tam giác ABC bất kỳ có BC a , AC b , AB c . có:

A. a 2 R cos A .

B. a 2 R sin A .

C. a 2 R tan A .

D. a R sin A .

Lời giải
Chọn B.
Định lý sin trong tam giác.
Câu 2.

Cho tam giác ABC bất kỳ có BC a , AC b , AB c . Đẳng thức nào sai?

A. b 2 a 2  c 2  2ac cos B .

B. a 2 b 2  c 2  2bc cos A .

C. c 2 b 2  a 2  2ab cos C .

D. c 2 b 2  a 2  2ab cos C .
Lời giải

Chọn C.
Theo định lí hàm số cosin, c 2 b 2  a 2  2ab cos C nên C sai.
Câu 3.

Cho tam giác ABC có các cạnh

1
A. S ABC  ac sin C .
2

. Diện tích của

1
B. SABC  bc sin B .
2

1
C. S ABC  ac sin B .
2

là
1
D. S ABC  bc sin C .
2

Lời giải
Chọn C.
1
Ta có: SABC  ac sin B .
2

Câu 4.

Cho

có

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

, góc

bằng

. Độ dài cạnh

Trang 1

là?
Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có:
Câu 5.

.
Cho

có

Độ dài cạnh

A.

B.

bằng:

C.

D.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có:
Câu 6.
A.

.
Cho

có

;

.

;

B.

. Tính độ dài

.

C.

.

.

Lời giải
Chọn A
Theo định lý cosin có:
.
Vậy
Câu 7.
A.

.
Tam giác

có

.

Tính cạnh
B.

C.

?

.

D. .

Lời giải
Chọn A
Theo định lí cosin trong

ta có:
.

Câu 8.

Cho

là độ dài

cạnh của tam giác

. Biết

;

;

. Tính độ dài của

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lí cosin cho tam giác

ta có:
.

Suy ra:
Câu 9.

.
Cho

vuông ở

biết

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Tính độ dài trung tuyến
Trang 2

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A
là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
Xét

có

.

.

Xét tam giác

có

và

suy ra

là tam giác đều.

.
Câu 10. Cho tam giác

, biết

A.

Tính góc

B.

?

C.

D.

Lời giải
Chọn B
Ta có:
Câu 11. Cho tam giác

, biết

A.

Tính góc

B.

?

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Ta có:
Câu 12. Tam giác

có

là điểm trên cạnh

sao cho

. Độ dài đoạn

bằng bao nhiêu?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Ta có: Trong tam giác

có

mà

Suy ra:

suy ra

là trung điểm

.

Câu 13. Tam giác ABC có
A.

,
B.

,

 Tính

?

C.

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có: Trong tam giác

:

.

Mặt khác
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 3

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Câu 14. Cho
A.

có

.

;

;

B.

. Độ dài

.

C.

gần nhất với kết quả nào?
.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Áp dụng định lý sin:
Câu 15. Cho

.
có

A.

Diện tích của tam giác là:
B.

C.

D.
Lời giải

Chọn B
Ta có:
……………………………………..
Câu 30. Từ hai điểm A và B trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh C và chân D của tháp CD dưới
các góc nhìn là 72 12 và 34 26 so với phương nằm ngang. Biết tháp CD cao 80 m . Khoảng cách AB
gần đúng bằng
A. 91 m .

B. 71 m .

C. 79 m .

D. 40 m .

Lời giải
Chọn A.
C

80 m

D

B

A



  DAC

37 46
Ta có: DBC
72 12 , DAC
34 26 nên 
ACB DBC
BC 

CD
84 m .

cos DBC

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có AB 

BC
.sin 
ACB 91 m .

sin DAC

Câu 31. Muốn đo chiều cao của tháp chàm Ponaga ở Nha Trang người ta lấy hai điểm A và B trên
mặt đất có khoảng cách AB 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của
giác kế có chiều cao h 1,3m . Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 , B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 4

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

 C 49 và DB
 C 35 . Tính chiều cao CD của
chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc DA
1 1
1 1
tháp.

A. 22, 77 m .

B. 21, 47 m .

C. 20, 47 m .

D. 21, 77 m .

Lời giải
Chọn A.
DA 90  49 41 ; C
DB 90  35 55 , nên 
Ta có C
A1 DB1 14 .
1
1
1
1
Xét tam giác A1DB1 , có

A1 B1
A1 D
12.sin 35

28, 45 m .
 A1 D 


sin A1 DB1 sin A1 B1 D
sin14

Xét tam giác C1 A1 D vuông tại C1 , có
A D 
sin C
1 1

C1D
 C1 D  A1 D.sin C1 A1 D 28, 45.sin 49 21, 47 m  CD C1 D  CC1 22, 77 m .
A1D

Câu 32. Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1 m , người ta cắt ra một hình chữ
nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. 1, 6 m 2 .

B. 2 m 2 .

C. 1 m 2 .

D. 0,8 m 2 .

Lời giải
Chọn C.

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 5

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Xét đường tròn bán kính 1 , ta cắt trên đó một hình chữ nhật ABCD .
1
Khi đó S ABCD  AC.BD.sin  2sin  2 .
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  90 .
Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng 1 .
Câu 33. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải đi qua một đầm lầy. Người ta xác
định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc

. Biết CA = 250m, CB =

120m. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 266m.

B. 255m.

C. 166m.

D. 298m .

Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Câu 34. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách
nhau bao nhiêu km?
A. 13.

B.

C.

D. 15.

Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là:

km.

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là

km.

Vậy sau 2h hai tàu cách nhau là:
Câu 35. Từ một đỉnh tháp chiều cao
góc nhìn

và

người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các

. Ba điểm A,B,D thẳng hàng. Khoảng cách AB gần giá trị nào nhất?

A. 71m.

B. 13m.

C. 79m.

D. 40m.

Lời giải
Chọn B.
Trong tam giác vuông CDA có:
Trong tam giác vuông CDB:
khoảng cách
Câu 36. Nhà Bình và nhà Cẩn cách nhau 53m và thẳng hàng với chân O của tòa tháp Vinhomes Park .
Từ nhà Bình và Cẩn lần lượt nhìn đỉnh A của tháp với góc 59 0 và 720 ( như hình vẽ bên). Hỏi chiều cao
OA của tháp gần nhất với số nào sau đây.
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 6

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

A.

B.

C.

D.

Câu 37. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta
chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C.

Người ta đo được khoảng cách AB = 40 m, BC = 70 m, 

. Vậy sau khi đo đạc và tính toán, ta

được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 35,7 m;           

B. 30,6 m;           

Câu 38. Cho tam giác

biết độ dài ba cạnh

với
A.

.

C. 92,3 m;           

. Khi đó, góc
B.

D. 41,5 m.

lần lượt là

và thỏa mãn hệ thức

bằng

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có
.
Mặt khác

.

Câu 39. Cho tam giác ABC không vuông ( đặt
A.

B.

). Giá trị
C.

bằng
D.

Lời giải
Chọn B.

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 7

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Câu 40. Cho hình chữ nhật
cạnh
A.

sao cho
.

có cạnh

,

là trung điểm của

là điểm trên

. Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

bằng

B.

.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn D

Ta có

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác

là:

Còn nữa……………….
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
 Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 10 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 8

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

 Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS

 Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
 Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
 Giáo viên và học sinh tham gia nhóm sau để cật nhật tài liệu mới
https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
Câu 41. Trong tam giác ABC với
a)
b)

a

.

b sin A
sin B

sin C 

c sin A
a

c) a 2 R sin A
d) b R tan B

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

Theo định lý sin ta có
 a

a
b
c


2 R
sin A sin B sin C

b sin A
c sin C
, sin C 
, a 2 R sin A , nên các mệnh đề a), b), c) đúng.
sin B
a

Vậy mệnh đề d) là mệnh đề sai.
Câu 42. Cho tam giác
giác,

, có độ dài ba cạnh là

là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và

. Gọi

là nửa chu vi tam

là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây

sai?
a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 9

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

a)
b)
c)
d)
Câu 43. Cho

với các cạnh

. Gọi

kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác

lần lượt là nửa chu vi, bán
.

a)
b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

Câu 44. Cho

có

a)
b)

c)
d)
và

a)
b) Diện tích tam giác

bằng

c) Chu vi tam giác

bằng

.
.

d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

.

bằng

Lời giải
a)

b)

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

c)

d)
Trang 10

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a) Theo định lý cosin ta có:
b)
c) Chu vi tam giác

:

d)

Câu 45. Cho

có

với độ dài ba cạnh là

.

a)
b) Chu vi tam giác

bằng

c) Diện tích tam giác

.

bằng

.

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

bằng

.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

SAI

a)
b) Ta có chu vi

:

c) Ta có: Nửa chu vi

.
:

.

Áp dụng công thức Hê-rông:

.

d)
……………………………………………………
Câu 56. Cho tam giác ABC .
a)

cos

B C
A
sin
2
2

b) sin  A  B  2C  sin 3C
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 11

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

c) sin  A  B  sin C
d) cos

A  B  2C
C
sin
2
2

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

Ta có
a)

cos

B C
A Sai
sin
2
2

b) sin  A  B  2C  sin 3C Sai
c) sin  A  B  sin C Sai
d) Do cos

A  B  2C
C
 AB

 C

 C
cos 
 C  cos    C  cos     sin .
2
2
 2

2 2

2 2

Câu 57. Cho tam giác ABC và 2ha hb  hc .
a)

2
1
1


sin A sin B sin C

b) 2sin A sin B  sin C
c) sin A 2sin B  2sin C
d)

2
1
1


sin A sin B sin C

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

SAI

a)
2ha hb  hc


4S 2S 2S
 
a
b
c



4
2
2


2 R sin A 2 R sin B 2 R sin C



2
1
1


.
sin A sin B sin C

b) 2sin A sin B  sin C

Sai

c) sin A 2sin B  2sin C Sai
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 12

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

d)

2
1
1


sin A sin B sin C

Sai

Câu 58. Cho tam giác
giác và

có

. Gọi

là đường cao vẽ từ đỉnh

của tam

bán kính đường tròn ngoại tiếp

a)
b) Diện tích tam giác

bằng

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

Ta có:

Ta có:
Ta lại có:
Ta lại có:
Câu 59. Cho tam giác

có

a) Nửa chu vi của tam giác
b) Diện tích tam giác

bằng
bằng

.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
d) Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh

của tam giác

bằng

.

bằng

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

Ta có:

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 13

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Câu 60. Cho

có

a) Diện tích tam giác

với độ dài ba cạnh là
bằng

b) Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh

.

.
của tam giác

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

bằng

.

bằng

.

bằng

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

SAI

SAI

a) Ta có:
Vậy:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Câu 61. Cho
a)

.

b)

.

có

c) Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh

với độ dài ba cạnh là

của tam giác

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

.

bằng
bằng

.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

ĐÚNG

SAI

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 14

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

a) Ta có:

b)Ta có:

c)

d)
Câu 62. Cho

có

và diện tích tam giác

bằng

a)
b)
c) Nếu góc

là góc nhọn thì

d) Nếu góc

là góc tù thì

.
.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

SAI

a) Ta có:
Ta lại có:
b) Ta có:
c) Nếu góc

là góc nhọn thì

d) Nếu góc

là góc tù thì

Câu 63. Cho

có

bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

và

. Đường cao hạ từ đỉnh

là

và

bằng

a)
b)
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 15

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

c)
d) Chu vi của tam giác là

.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
c) Chu vi:

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 16

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
 Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 10 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
 Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
 Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
 Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
 Giáo viên và học sinh tham gia nhóm sau để cật nhật tài liệu mới
https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
Câu 64. Cho

có

. Tính độ dài cạnh

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:

.

Câu 65. Tam giác

có

Độ dài cạnh

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:

.

Câu 66. Cho tam giác

có

cm,

cm,

cm. Tính

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có

.

Câu 67. Cho tam giác
tiếp tam giác

có góc

và cạnh

. Tính bán kính của đường tròn ngoại

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 17

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Ta có:

.

Câu 68. Cho tam giác

có

, góc

,

. Tính độ dài cạnh

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

Ta có

.

Câu 69. Cho hình thoi

có cạnh bằng

. Góc

. Tính diện tích hình thoi

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có

.

Câu 70. Tam giác

có

;

;

. Cạnh

bằng bao nhiêu? (lấy gần bằng đến

phần chục)
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Trong tam giác

:

.

Mặt khác
Câu 71. Tính diện tích tam giác

biết

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:

.

Vậy diện tích tam giác
Câu 72. Cho

là:
có

.
, nửa chu vi

. Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp

của

tam giác.
Trả lời: ………………..
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 18

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Lời giải

Đáp án:
Ta có:
Câu 73. Cho tam giác

có

. Tính cạnh b và diện tích

của tam giác

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

,

Đáp án:
Ta lại có:
Ta có: Ta có

Câu 74. Cho tam giác

có

. Tính cạnh c và diện tích

của tam giác

.

lấy điểm

sao cho

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

,

Ta lại có:
Ta có: Ta có
Câu 75. Cho tam giác

có

và có góc

. Biết diện tích tam giác

bằng

. Trên đoạn
. Tính độ dài cạnh

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án: AB 6
A
M
C

B

2
1
1
Ta có AM  AB  BM  AB từ đó SBMC  SABC 4 3  SABC 12 3 .
3
3
3

Áp dụng công thức diện tích ta có:
1
1
1
3

S ABC  AC. AB.sin BAC
 AC . AB.sin120  .8. AB.
12 3 .
2
2
2
2

Giải được AB 6 .
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 19

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Vậy độ dài cạnh AB 6 .
Câu 76. Cho tam giác

thoả mãn:

. Tính số đo góc

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Câu 77. Tam giác

có

. Các cạnh

. Khi đó góc

liên hệ với nhau bởi đẳng thức

bằng bao nhiêu độ.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Theo bài ra, ta có:

.

Câu 78. Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện a  b  c a  b  c  3ab . Tính số
đo của góc C .
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án: 60
Ta có: a  b  c a  b  c  3ab 
Mà cos C 

a  b 

2

 c 2 3ab  a 2  b2  c 2 ab .

a 2  b2  c 2 1
 60 .
  C
2ab
2

Câu 79. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong hình vẽ dưới. Để rút
ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ

tới

Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 20

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

.

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

Dựng

vuông góc với

.

Xét tam giác

vuông tại

có

Xét tam giác

vuông tại

có

Mặt khác

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm

so với đường cũ.

Câu 80. Từ một đỉnh tháp chiều cao
góc nhìn là 

và

, người ta nhìn hai điểm

so với phương nằm ngang. Ba điểm

và

trên mặt đất dưới các

thẳng hàng. Tính khoảng cách

(chính xác đến hàng đơn vị)?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có: Trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông

:

:

Suy ra: khoảng cách
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 21

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Câu 81. Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế),
người ta cắm hai cọc AM và BN cao 1,5 mét so với mặt đất. Hai cọc này song song và cách nhau 10 mét
và thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa). Đặt giác kế tại đỉnh A và B để nhắm đến đỉnh cột
cờ, người ta được các góc lần lượt là

và

so với đường song song với mặt đất. Tính chiều

cao của cột cờ (làm tròn 0,01 mét).

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:

Áp dụng định lý hàm số sin trong

Xét tam giác vuông ACD:

Suy ra chiều cao của cột cờ là:
Câu 82. Khoảng cách từ

đến

xác định được một điểm

mà từ đó có thể nhìn được

. Khoảng cách

không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
và

dưới một góc 

. Biết

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Câu 83. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí
. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ
cách nhau bao nhiêu

, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc

, tàu thứ hai chạy với tốc độ

. Hỏi sau

giờ hai tàu

?

Trả lời: ………………..
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 22

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Lời giải

Đáp án:
Ta có: Sau
Sau

quãng đường tàu thứ nhất chạy được là:

quãng đường tàu thứ hai chạy được là:

Vậy: sau

hai tàu cách nhau là:

Câu 84. Khoảng cách từ
xác định được một điểm

đến

không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta

mà từ đó có thể nhìn được

. Khoảng cách

và

dưới một góc 

. Biết

,

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Câu 85. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình
tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc
đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (
cm;

cm;

cm). Tính bán kính của chiếc đĩa này.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Bán kính

của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Nửa chu vi của tam giác
Diện tích tam giác

.

là:

cm.

là:

Mà

cm2.
cm.

Câu 86. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất
sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m,

;

. Tính chiều cao h

của khối tháp. (làm tròn kết quả đến phần chục)
Trả lời: ………………..
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 23

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Lời giải

Đáp án:

Ta có
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:
Tam giác BCD vuông tại C nên có:
Vậy
Câu 87. Trong sơ đồ, chùm sáng hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó
phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết

. Tính PT .

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 24

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Ta có:

Xét tam giác POQ ta có:
Ta có:
Áp dụng định lý cosin trong tam giác OPQ ta có:
= 8.

Khi đó :

Áp dụng định lý sin trong tam giác PTO ta có:
Câu 110. Khu vườn nhà thầy Tuấn có dạng miền tứ giác ABCD với các kích thước đo đạc được ghi trên
hình vẽ bên dưới. Tính diện tích của khu vườn đó (kết quả làm tròn một chữ số thập phân).

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 111. Cho
nhất của

.Gọi

là 2 điểm di động lần lượt trên

sao cho

. Độ dài lớn

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 25

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Áp dụng định lí cosin:
.
Coi phương trình là một phương trình bậc hai ẩn

. Để tồn tại giá trị lớn nhất của

thì
Vậy

.
.

Câu 112. Cho tam giác

vuông cân tại

khi đó góc

và

là điểm nằm trong tam giác

sao cho

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
;

với

.

Ta có
.
.

.

.
Vậy

.

Câu 113. Cho tam giác ABC có
Tính góc

Gọi D là điểm trên đoạn BC sao cho

và

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Cách 1: Áp dụng định lý sin trong hai tam giác ADC và ABC ta có:
https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 26

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

;

Từ đây dễ dàng tìm được
Cách 2: Gọi E trên đoạn AD sao cho

Suy ra

. Suy ra

Xét tam giác CDE ta có:

hay tam giác BDE cân tại D. Suy ra

Khi đó:

Suy ra hai tam giác BCE, BAE cân hay
Điều này suy ra tam giác AEC vuông cân. Hay
Vậy
Câu 114. Cho

có độ dài ba cạnh là

và thỏa mãn

. Góc

là góc tù hay góc

nhọn ?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án: góc nhọn
Ta có:
+)

. Do đó ta cần chứng minh

+)
+)

(đpcm)

Câu 115. Cho tam giác
giác

, với các đường cao

thỏa mãn

. Tam

là tam giác gì?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 27

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

. Suy ra tam giác
Câu 116. Cho tam giác

cân.
có tâm đường tròn nội tiếp là I. Gọi

lần lượt là bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, IBC, ICA, IAB. Biết R1 + R2 + R3 = 3R. Tam giác

là tam giác

gì?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án: Tam giác đều.
Áp dụng định lý sin cho các tam giác IBC và

ta có:

Tương tự:

Từ đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác

là tam giác đều.

Câu 117. Cho tam giác ABC. AM, BN, CP là các đường phân giác trong (
của tam giác đó. Để PM vuông góc với NM thì số đo của

)

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Theo định lý sin ta có:

Nhân ba đẳng thức trên theo vế với vế và để ý rằng

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 28

suy ra:

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Tương tự:

Mặt khác:

Cộng các đẳng thức (1), (2) theo vế đồng thời kết hợp với (3) ta suy ra:

Câu 118. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu

.

A. Tam giác đều.

B. Tam giác có

C. Tam giác có

D. Tam giác có

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 29

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình 10 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải theo CT 2025 Cánh Diều

Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Còn nữa…………………………..

https://www.facebook.com/truongngocvy8/

Trang 30

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093