TẬP THỂ LỚP 10A7 THÂN CHÀO QUÍ THẦY CÔ VỀ DỰ GIỜ, THĂM LỚP!

CHƯƠNG
I
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

§3. Bất phương trình bậc nhất

hai ẩn.
§4. Hệ bất phương trình bậc
nhất
hai ẩn.

TẬP THỂ LỚP 10A7 THÂN CHÀO QUÍ THẦY CÔ VỀ DỰ GIỜ, THĂM LỚP!

TOÁN ĐẠI
SỐ
➉

CHƯƠNG
I
CHƯƠNG
II. BẤT PHƯƠNG
TRÌNH VÀ
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.

4

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN

1

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

2

BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

3 ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

.

KHỞI ĐỘNG

Theo bạn trên thị trường ngày nay, có nhiều thương hiệu đồ gia dụng liên quan đến
máy điều hòa không?

Rất, rất hiều thương hiệu máy điều hòa được ra đời như: Toshiba,
Hitachi, Capes,...và ứng với mỗi thương hiệu sẽ có nhiều doanh thu
khác nhau. Nếu là bạn tương lai sẽ là trở thành đại lý kinh doanh mặt
hàng trên, thi bạn sẽ đặt ra mục tiêu làm thế nào để kinh doanh với lợi
nhuận cao nhất. Đây là một trong những bài toán tôi sẽ giới thiệu đến
các bạn trong tiết học hôm nay. Đó là một số bài toán thực tế được áp
dụng để tính toán liên quan đến lợi nhuận về kinh tế, kinh doanh, .... và
nhều ứng dụng khác trong cuộc sống hằng ngày của chúng ta. Cụ thể
mời các bạn tìm hiểu bài toán sau:

x

Tìm điều kiện
x, y ?BẬC NHẤT HAI ẨN
BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH
b)
Vì
vốn
cữa
hàng
có
thể
đầu
tư
không
vượt
quá
1,2
tỉ
c)
Tính
tiền
lãi
mà
cửa
hàng
dự
kiến
thu
được
theo
a) Do nhu cầu thị trường không vượt quá 100 máy nên x, y
đồng
nên
x,
y
thỏa
điều
kiện
gì
?
x,y.
1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NHẤT
cần thỏaBẬC
điều kiện
gì ? HAI ẨN
• Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự • HĐ1: Gọi và lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều
định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn
hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa
theo
và
.
ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng.
Điều hòa hai
Điều hòa một
chiều
chiều
Giá mua vào 20 triệu đồng/1 máy 10 triệu đồng/1 máy

Giải:

 

Lợi nhuận dự
kiến

3,5 triệu đồng/1
máy

2 triệu đồng/1 máy

x

a) Gọi và lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và
một chiều mà cửa hàng cần nhập. Khi đó ta có , .
Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên và
cần thỏa đk.

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt
• Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị quá 1,2 tỉ đồng nên và phải thỏa mãn điều kiện .

trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại.
c)
Số
tiền
lãi
mà
cửa
hàng
dự
kiến
thu
được
theo
và
là
.
Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh
doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu
được là lớn nhất?

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 Hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều
bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
 Cặp số là nghiệm của một hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn
khi đồng thời là nghiệm của tất
cả các bất phương trình trong hệ
đó.
NHÓM I+II
Kiểm tra cặp số (30, 40) thỏa
mãn tất cả các bất phương trình
trong hệ (I) không ?

Như vậy, x và y trong hoạt động
1 phải thỏa mãn một số bất
phương trình bậc nhất hai ẩn, gọi
là Hệ bất phương trình hai ẩn , là ta viết
lại :
(I)

NHÓM III+IV
Kiểm tra cặp số (70, 40) thỏa
mãn tất cả các bất phương trình
trong hệ (I) không ?

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 Hệ bất phương trình bậc nhất hai

• Ví dụ 1(SGK/27) . Cho hệ bất
phương trình

ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều
bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
 Cặp số là nghiệm của một hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn
khi đồng thời là nghiệm của tất
cả các bất phương trình trong hệ
đó.

a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn không?
b) Kiểm tra xem cặp số có phải là một
nghiệm của hệ bất phương trình trên
không.
Giải:
a) Hệ bất phương trình đã cho là một hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn và .
b) Cặp số thỏa mãn cả ba bất phương
trình của hệ nên nó là một nghiệm của
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã
cho.

x

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
• HĐ2: Cho đường thẳng trên mặt
phẳng tọa độ . Đường thẳng này
cắt hai trục tọa độ và tại hai
điểm và .
a) Xác định các miền nghiệm , ,
của các bất phương trình tương
ứng ; và .
b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có
phải là giao của các miền nghiệm , ,
hay không?

x

a) Miền nghiệm của bất
phương trình là nửa mặt phẳng
bờ chứa điểm .
Miền
nghiệm
của
bất
phương
b) Miền tam giác (H.2.5)
trình là nửa mặt phẳng bờ
là
giao
của
các
miền
chứa điểm .
nghiệm
, vàcủa
. bất phương
Miền nghiệm
trình
là nửa mặt phẳng bờ chứa
gốc tọa độ .

x

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
• HĐ2: Cho đường thẳng trên mặt
phẳng tọa độ . Đường thẳng này cắt
hai trục tọa độ và tại hai điểm và .

C ) Lấy một điểm trong tam giác (chẳng hạn
điểm ) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam
giác (chẳng hạn điểm ) và kiểm tra xem tọa độ
của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất
phương trình sau hay không:

x

Điểm
trên
cạnh
của
tam
giác
Điểm trong tam giác thỏa mãn
thỏa
mãn
tất
cả
các
bất
tất cả các bất phương trình của
phương
trình
của
hệ
nên
nó
là
hệ nên nó là một nghiệm của
một
nghiệm
của
hệ
bất
phương
hệ bất phương trình này.
trình .

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HĐ2: Cho đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ .
Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ và tại hai
điểm và .
a) Xác định các miền nghiệm , , của các bất
phương trình tương ứng ; và .
b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao của
các miền nghiệm , , hay không?
C ) Lấy một điểm trong tam giác (chẳng hạn
điểm ) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam
giác (chẳng hạn điểm ) và kiểm tra xem tọa độ
của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất
phương trình sau hay không:

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp
các điểm có tọa độ là nghiệm
của hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn là miền nghiệm của
hệ bất phương trình đó.
 Miền nghiệm của hệ là giao các
miền nghiệm của các bất
phương trình trong hệ.

Chú ý. Nếu trong HĐ2, hệ được thay bởi thì miền
nghiệm sẽ là miền tam giác bỏ đi cạnh .

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cách xác định miền nghiệm của
một hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn:
 Trên cùng một mặt phẳng tọa
độ, xác định miền nghiệm của
mỗi bất phương trình bậc nhất
hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền
 còn
Miềnlại.không bị gạch là miền
nghiệm của hệ bất phương trình
đã cho.

Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương
trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
• Luyện tập 2. Biểu diễn miền
nghiệm của hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa
độ:
• Giải

• Vẽ đường thẳng .
• Vì nên tọa độ điểm thỏa mãn bất
phương trình .

Do đó, miền nghiệm của bất phương
trình là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa
Bước 1. Miền nghiệm của bất phương độ .
trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm Bước 4. Tương tự, miền nghiệm của bất
.
phương trình là nửa mặt phẳng bờ
Bước 2. Miền nghiệm của bất phương chứa gốc tọa độ .
trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm
không kể đường thẳng .
Bước 3. Xác định miền nghiệm của
bất phương trình là

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Xác định miền nghiệm của hệ bất
phương trình trên. Miền nghiệm là miền
tứ giác với tọa độ các đỉnh , , và
(H.2.7).
Ta tính giá trị của biểu thức
. tại các đỉnh của tứ giác này:
,
,
,
.

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
• Vận dụng. Một cửa hàng có kế
hoạch nhập về hai loại máy tính
và , giá mỗi chiếc lần lượt là 10
triệu đồng và 20 triệu đồng với số
vốn ban đầu không quá 4 tỉ đồng.
Loại máy mang lại lợi nhuận 2,5
triệu đồng cho mỗi máy bán được
và loại máy mang lại lợi nhuận là
4 triệu đồng cho mỗi máy bán
được. Cửa hàng ước tính rằng
tổng nhu cầu hàng tháng sẽ
không vượt quá 250 máy. Giả sử
trong một tháng cửa hàng cần
nhập số máy tính mỗi loại là bao
nhiêu máy ?

• Giải
a) Giả sử cửa hàng cần nhập số máy tính
loại là và số máy tính loại là . Khi đó ta
có , .
Số tiền để nhập hai loại máy tính với
số lượng như trên là: (triệu đồng).
Số vốn ban đầu không quá 4 tỉ đồng,
nên ta có hay .
Vì tổng nhu cầu hàng tháng không
vượt quá 250 máy nên .
Từ đó ta thu được hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn sau:

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
• Miền nghiệm của hệ bất phương
trình trên là miền tứ giác với tọa
độ các đỉnh , , và .

b) Gọi (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng
thu được trong tháng đó khi bán máy tính
loại và máy tính loại . Khi đó .
c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của khi thỏa
mãn hệ bất phương trình trên.
Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của
tứ giác :
,

Tại A(0,200),
Tại B(100,150): ,
Tại C(250,0):

.

So sánh các giá trị thu được của , ta được
giá trị lớn nhất cần tìm là .
• Vậy cửa hàng mỗi tháng cần nhập 100 máy
tính loại và 150 máy tính loại để lợi nhuận
thu được là lớn nhất.

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài tập 2.4

Đáp án:
Hệ bất phương trình nào sau đây là a)
hệ bất phương trình bậc nhất hai
d)
ẩn?
a)
c)

b)
d)

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài tập 2.5

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng
tọa độ:
b)

c)

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bước 1: Vẽ đường thẳng
Vì nên tọa độ điểm
không thỏa mãn bất phương trình
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình
là nửa mặt phẳng bờ không chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng .
Bước 2: Vẽ đường thẳng
Vì nên tọa độ điểm thỏa bất phương trình
Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm không kể bờ .
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):y=0
Vì -1<0 nên tọa độ điểm (0,-1)thỏa bất phương trình y<0
bờ Ox.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình y<0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm không kể

Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
b)
Bước 1: Vẽ đường thẳng ( ):x=0
Vì 1>0 nên tọa độ điểm (1;0) thỏa bất phương trình x≥0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0
là nửa mặt phẳng bờ Oy và đường thẳng x=0 chứa điểm (1;0).
Bước 2: Vẽ đường thẳng ( ):y=0
Vì 1>0 nên tọa độ điểm (0,1) thỏa bất phương trình y≥0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình y≥0 là
nửa mặt phẳng bờ Ox và đường thẳng y=0 chứa điểm (0;1).
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):2x+y=4
Vì 2.0+0=0<4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x+y≤4
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình 2x+y≤4 là nửa mặt phẳng bờ và đường thẳng
2x+y=4 chứa gốc tọa độ O.
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
c)
Bước 1: Vẽ đường thẳng ( ):x=0
Vì 1>0 nên tọa độ điểm (1;0)thỏa bất phương trình x≥0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt
phẳng bờ Oy và đường thẳng x=0 chứa điểm (1;0).
Bước 2: Vẽ đường thẳng ( ):x+y=5
Vì 0+0=0<5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x+y<5
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x+y<5 là nửa mặt phẳng bờ không chứa
gốc tọa độ O không kể đường thẳng .
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):x-y=0
Vì -1-0=-1<0 nên tọa độ điểm (-1;0) thỏa mãn bất phương trình x-y<0
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x-y<0 là nửa mặt phẳng bờ chứa
điểm (-1;0) không kể đường thẳng .
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài tập 2.6

Một gia đình cần ít nhất 900
đơn vị protein và 400 đơn vị
lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị
protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi
kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị
protein và 400 đơn vị lipit. Biết
rằng gia đình này chỉ mua nhiều
nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg
thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là
250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là
160 nghìn đồng. Giả sử gia đình
đó mua x kilôgam thịt bò và y

a) Viết các bất phương trình
biểu thị các điều kiện của bài
toán thành một hệ bất
phương trình rồi xác định
miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số
tiền phải trả cho x kilôgam
thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi

Đáp án:

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

a) Gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giả sử gia đình này mua x
kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện:
0≤x≤1,6 và 0≤y≤1,1.
Gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều
kiện tương ứng là
800x+600y≥900 và 200x+400y≥400
Hay 8x+6y≥9 và x+2y≥2
Từ các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán,
ta có hệ bất phương trình sau:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

, ,
(Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD
(kể cả biên).

BÀI 4 : HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

b) (nghìn đồng)
c) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác
ABCD.
, ta có (nghìn đồng)
, ta có (nghìn đồng)
, ta có (nghìn đồng)
, ta có (nghìn đồng)
• Vậy gia đình đó cần mua kg thịt bò và kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.