CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG
Ta có thể gắn cho mỗi vị trí trên

Trái

Đất một cặp số, được gọi là vĩ độ và kinh
độ. Mỗi vị trí trên Trái Đất hoàn toàn xác
định khi biết vĩ độ và kinh độ của nó. Sau
bài học này, ta có thể hiểu và diễn đạt
chính xác khái niệm đó.

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ
VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 25: HAI MẶT PHẲNG
VUÔNG GÓC

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

2

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

3

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

4

Góc nhị diện

5

Một số hình lăng trụ đặc biệt

6

Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

1. Góc giữa hai mặt phẳng,
hai mặt phẳng vuông góc

HĐ 1

Cho hai mặt phẳng và . Lấy hai đường thẳng cùng vuông góc với , hai
đường thẳng cùng vuông góc với . Tìm mối quan hệ giữa các góc và

Giải:
Vì và cùng vuông góc với
chúng song song hoặc

nên
trùng

nhau.
Tương tự, và song song hoặc
trùng nhau.
Vậy

Kết luận
• Cho hai mặt phẳng và Lấy các đường thẳng

tương ứng

vuông góc với . Khi đó góc giữa và không phụ thuộc vào vị trí
của và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng và (Q).
• Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu
góc giữa chúng bằng .

Chú ý: Nếu là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì .

 Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào, khác 0° khi nào?
Trả lời:
Xét hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt
phẳng .
Khi đó góc giữa khi và chỉ khi , hay a và b song song
hoặc trùng nhau.

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến . Lấy một điểm bất kì thuộc
đường thẳng . Gọi là các đường thẳng đi qua , tương ứng thuộc và vuông góc với .
Chứng minh rằng góc giữa và bằng góc giữa và .
Giải:
Trong mặt phẳng chứa lấy một điểm không thuộc
các đường thẳng .
Gọi tương ứng là hình chiếu của trên .
Khi đó vuông góc với các đường thẳng .
Do , nên
Tương tự,
Do đó, góc giữa và bằng góc giữa và .

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến . Lấy một điểm bất kì thuộc
đường thẳng . Gọi là các đường thẳng đi qua , tương ứng thuộc và vuông góc với .
Chứng minh rằng góc giữa và bằng góc giữa và .
Giải:
Do nên bốn điểm thuộc một đường tròn.
Do đó, và bằng hoặc bù nhau, tức là
Vậy góc giữa và bằng góc giữa và

Nhận xét

tại O; tại O
Khi đó
Đặc biệt, khi và chỉ khi

Luyện tập 1

Cho hình chóp , đáy là một hình chữ nhật có tâm Chứng minh

rằng hai mặt phẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi là một hình vuông.
Giải:
Gọi là giao điểm của và .
Vì và
((
Do đó
là hình vuông.

2. Điều kiện để
hai mặt phẳng vuông góc

HĐ 2

Cho mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Lấy một
đường thẳng vuông góc với (H.7.47).
a) Tính góc giữa và .
b) Tính góc giữa và
Giải:
a) Vì và nên .
Vậy .
b) Do và tương ứng vuông góc với và
.
Do đó, .

Kết luận
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa
một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 2: Cho tứ diện có vuông góc với và . Chứng minh rằng các mặt
phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng
Giải:
Do vuông góc với và nên
Mặt khác, các mặt phẳng chứa .
Do đó chúng cùng vuông góc với mặt phẳng

3. Tính chất của
hai mặt phẳng vuông góc

HĐ 3

Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng thuộc và vuông góc
với giao tuyến của và Gọi là giao điểm của và . Trong mặt phẳng , gọi là đường
thẳng vuông góc với tại .
a) Tính góc giữa và .
b) Tìm mối quan hệ giữa và

Giải:
a)
Mà (Q) .
b) Vì , nên .

Kết luận
Với hai mặt phằng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào
nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng
vuông góc với mặt phẳng kia.
Nhận xét: Cho Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc và vuông
góc với mặt phẳng thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng .

HĐ 4

Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến và cùng vuông góc với
mặt phẳng . Gọi là một điểm thuộc và là đường thẳng qua và vuông góc
với .
a) Hỏi có nằm trong các mặt phẳng hay không?
b) Tìm mối quan hệ giữa và
c) Tìm mối quan hệ giữa và

Giải:
a) Do và đường thẳng đi qua vuông góc
với nên . Tương tự, .
b) Do

và nên

c) Do trùng nên .

Kết luận
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba đó.

Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và Gọi tương ứng là hình chiếu
của trên . Chứng minh rằng:
a)
b) Các điểm cùng thuộc một mặt phẳng
Giải:
a) Vì và nên .
Do đó,
Đường thẳng thuộc và vuông góc với nên
Tương tự

Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và Gọi tương ứng là hình
chiếu của trên . Chứng minh rằng:
a)
b) Các điểm cùng thuộc một mặt phẳng
Giải:
b) Từ câu a ta có , .
Các đường thẳng cùng đi qua và vuông góc với nên
cùng thuộc một mặt phẳng.
Do đó bốn điểm cùng thuộc một

mặt phẳng.

Luyện tập 3 Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:
a) Các mặt phẳng và cùng vuông góc với
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua , nằm trong mặt phẳng và
vuông góc với .

Giải:
a) Vì ,
Vì
b) Ta có:

Lại có
.

4. Góc nhị diện

HĐ 5

Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với

mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong hình 7.51, các tia được vẽ tương
ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến của mặt ghế và lưng
ghế.
a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ
100° đến 105°.
b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng
chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo
từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Giải:
a) Góc nên có số đo từ đến
b) Góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa
lưng ghế bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng chứa
Vì nên góc giữa hai đường thẳng tương ứng chứa có thể
nhận số đo từ đến .
Vậy góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng
chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ đến .

Kết luận
Hình gồm hai nửa mặt phằng có chung bờ được gọi là một góc
nhi diện, kí hiệu là . Đường thẳng và các nửa mặt phẳng tương
ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.

Kết luận
Từ một điểm bất kì thuộc cạnh của góc nhị diện , vẽ các tia tương
ứng thuộc và vuông góc với . Góc được gọi là một góc phẳng của
góc nhị diện (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc không phụ
thuộc vào vị trí của trên , được gọi là số đo của góc nhị diện .

Chú ý:
• Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ đến Góc nhị diện được gọi là
vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn .
• Đối với hai điểm không thuộc đường thẳng ta kí hiệu là góc nhị diện có
cạnh và các mặt tương ứng chứa
• Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc
nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc
nhị diện vuông.

Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy là hình thoi có cạnh bằng , . Gọi là giao điểm của hai đường chéo
hình thoi và là hình chiếu của trên .
a) Tính số đo của các góc nhị diện
b) Chứng minh rằng là một góc phẳng của góc nhị diện

Giải:

a) Vì nên và vuông góc với .
Vậy là một góc phẳng của góc nhị diện .
Hình thoi có cạnh bằng và nên các tam giác đều.
Do đó
Vậy số đo của góc nhị diện bằng

Giải:

Vìvà nên .
Vậy và vuông góc với .
Suy ra là một góc phẳng của góc nhị và là một góc phẳng
của góc nhị diện
Tam giác vuông tại và có nên . Suy ra
Vậy các góc nhị diện tương ứng có số đo là

b) Theo chứng minh trên, nên .
Mặt khác, nên
Do đó, là một góc phẳng của góc nhị diện

Luyện tập 4 Cho hình chóp có
. Gọi là trung điểm của
a) Chứng minh rằng  là một góc phẳng của góc nhị diện
b) Tính số đo của góc nhị diện

Giải:
a) là một góc phẳng
b)
.

nhị diện ].

Vận dụng 1
Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có
đường kính , bản lề được đính ở điểm chính giữa của các cung tròn khung và
cánh cửa.
Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính
của cánh song song với nhau và cách nhau một
khoảng ; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng
nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt
phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi .

Giải:
• Gọi lần lượt là tâm của nửa hình tròn khung cửa và nửa hình tròn cánh cửa.
• Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với
nhau, do đó chúng cũng song song với giao tuyến (qua ) của hai mặt phẳng
tương ứng chứa khung và cánh cửa.
• Vì là điểm chính giữa của các cung tròn khung cửa và cánh cửa nên vuông
góc với đường kính khung cửa, vuông góc với đường kính cánh cửa.
là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa cánh và
khung cửa.

Giải:
• Ta có nên .
Vậy cũng vuông góc với các đường kính cánh cửa và khung cửa.
Do đó .
Mặt khác , suy ra tam giác đều và .
Vậy để khoảng cách giữa đường kính cánh của và đường kính khung cửa bằng
40 cm thì góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa cánh và khung cửa có số đo
là

Kinh độ và vĩ độ

- Kinh độ của điểm trên Trái Đất là: số đo của góc
nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa kinh tuyến

- Hình ảnh các kinh tuyến

gốc và kinh tuyến đi qua (cạnh của góc nhị diện

và vĩ tuyến

này là trục Trái Đất).
- Vĩ độ của điểm
trên Trái Đất là: số
đo của góc giữa mặt
phẳng chứa đường
xích đạo và đường
thẳng nối
Trái Đất.

với tâm

- Vĩ độ phi và Kinh độ lambda
- Mỗi điểm trên Trái Đất sẽ thuộc một
trong hai bán cầu Bắc hoặc Nam và
thuộc nửa Đông hay nửa Tây.
Ví dụ: Bia Chủ quyền đảo Song Tử
Tây có vị trí:
(chú thích: latitude- vĩ độ, longitude –
kinh độ).

5. Một số hình
lăng trụ đặc biệt

a) Hình lăng trụ đứng
Hình lăng trụ đứng là hình
lăng trụ có các cạnh bên
vuông góc với mặt đáy.

HĐ 6

Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có
vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?
Giải:

Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.
Mặt khác, lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy
Các cạnh bên vuông góc với các cạnh đáy.
Do đó hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.
Vì vậy cạnh bên vuông góc với đáy nên các mặt bên cũng vuông góc
với đáy.

Kết luận
Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật và
vuông góc với mặt đáy.

b) Hình lăng trụ đều
Hình lăng trụ đều là hình
lăng trụ đựng có đáy là đa
giác đều.

HĐ 7

Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có
cùng kích thước hay không? Vì sao?
Giải:

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng nên các mặt bên của nó là các hình
chữ nhật.
Mặt khác, các cạnh đáy của lăng trụ đều bằng nhau và các cạnh bên của một
lăng trụ luôn bằng nhau.
Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình ch ũ̃ nhật có cùng kích
thước.

Kết luận
Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật có cùng
kích thước.

c) Hình hộp đứng
Hình hộp đứng là hình
lăng trụ đứng, có đáy là
hình bình hành.

HĐ 8

Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình
chữ nhật? Vì sao?
Giải:

Hình hộp đứng là một trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, có 4 mặt
bên là các hình chữ nhật, còn hai đáy là hai hình bình hành.
Do đó nó có ít nhất 4 mặt là bốn hình chữ nhật, đó là các mặt bên.

Kết luận
Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình
chữ nhật.

d) Hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật là hình
hộp đứng có đáy là hình
chữ nhật.

HĐ 9

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?
b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và

cắt nhau

tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?
Giải:
a) Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.
Vì hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng nên các mặt bên là các hình
chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật có thêm 2 đáy là hình chữ nhật.