CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Để giải quyết vấn đề tắc đường ở các thành
phố lớn, có rất nhiều giải pháp được đưa ra.
Trong đó giải pháp xây dựng các hệ thống cầu
vượt, đường hoặc đường sắt trên cao đã và
đang được đưa vào thực tế ở Việt Nam. Toán
học mô tả vị trí tương quan giữa các tuyến
đường trên như thế nào?

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 11. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG
SON

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

2

Tính chất của hai đường thẳng song song

3

Nhắc lại kiến thức, làm bài tập

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI
ĐƯỜNG THẲNG

HĐ 1: Quan sát bốn tuyến đường trong Hình 4.13 và trả lời câu hỏi sau:
a) Hai tuyến đường nào giao nhau?
b) Hai tuyến đường nào không giao nhau?
c) Hai tuyến đường nào song song?
Trả lời:
Quan sát Hình 4.13 ta thấy:
a) Hai tuyến đường mũi tên màu đỏ và mũi tên màu vàng giao nhau.
b) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và màu xanh lá cây không giao nhau.
c) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và mũi tên màu đỏ song song.

KẾT LUẬN
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.
• Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a
và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.
• Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo
nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.

Câu hỏi
Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường thẳng song song, hai đường
thẳng chéo nhau trong thực tiễn.

Ví dụ: - Hình ảnh hai đường thẳng song song:
Hai cạnh đối diện của chiếc bàn

Vạch kẻ đường

Ví dụ:
- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau:
Cạnh bàn và đường nối chân bàn

Nhận xét
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và
không có điểm chung.
- Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Ví dụ 1:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng
(H.4.16).
a) Quan sát bốn đường thẳng AB, BC, CD, DA.
Chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau, các cặp
đường thẳng song song.
b) Trong ba đường thẳng AB, AF, BE có hai
đường thẳng nào chéo nhau hay không?

Giải
a) Các cặp đường thẳng cắt nhau là AB và BC, AB và
DA, BC và CD, CD và DA.
Các cặp đường thẳng song song là AB và CD, DA và
BC.
b) Các đường thẳng AB, AF, BE cùng nằm trong mặt
phẳng (ABEF) nên trong ba đường thẳng đó không
có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Luyện tập 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.17)
a) Trong các đường thẳng AB, AC, CD, hai đường
thẳng nào song song, hai đường thẳng nào cắt
nhau?
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh SA,
SB. Trong các đường thẳng SA, MN, AB có hai
đường thẳng nào chéo nhau hay không?

Giải

a) Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại giao
điểm A.
Hai đường thẳng AB và CD song song với nhau
(do ABCD là hình bình hành).
Hai đường thẳng AC và CD cắt nhau tại giao điểm
C.

Giải
b) Vì hai điểm M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh
SA, SB nên hai điểm M, N thuộc mặt phẳng (SAB) hay
các điểm S, A, B, M, N cùng thuộc một mặt phẳng nên
các đường thẳng SA, MN, AB đồng phẳng, do đó khi lấy
bất kì 2 trong 3 đường thẳng trên thì chúng có thể cắt
nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.
Vậy trong các đường thẳng SA, MN, AB, không có hai
đường thẳng nào chéo nhau.

Ví dụ 2:
Cho hình tứ diện ABCD (H.4.18). Hai đường thẳng AB và CD có chéo nhau hay
không? Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau có trong hình tứ diện đó.
Giải
Nếu hai đường thẳng AB và CD không chéo nhau thì
chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
Khi đó bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, trái với giả thiết
ABCD là hình tứ diện.
Do đó, hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.

Ví dụ 2:
Cho hình tứ diện ABCD (H.4.18). Hai đường thẳng AB và CD có chéo nhau
hay không? Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau có trong hình tứ diện đó.
Giải
Lập luận tương tự, ta thấy trong tứ diện ABCD
còn có các cặp đường thẳng chéo nhau là AC và
BD, AD và BC.

Luyện tập 2
Trong hình chóp tứ giác S.ACBD (H.4.19), chỉ ra những đường thẳng:
a) Chéo với đường thẳng SA;
b) Chéo với đường thẳng BC

Giải:
a) Các đường thẳng chéo với đường thẳng SA là BC và
CD.
Giải thích: Nếu hai đường thẳng SA và BC không chéo
nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó bốn
điểm S, A, B, C đồng phẳng, trái với giả thiết S.ABCD là
hình chóp. Do đó, hao đường thẳng SA và BC chéo
nhau. Tương tự, giải thích được hai đường thẳng SA và
CD chéo nhau.
b) Các đường thẳng chéo với đường thẳng BC là SA và
SD. Giải thích tương tự câu a.

Vận dụng 1
Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu
kia trên mặt sàn (H.4.20). Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó
song song với một trong các mép tường hay không?
Giải
Ta không thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường vì điểm đầu gậy
chạm với sàn và 4 điểm góc của tường là các điểm không đồng phẳng nên đường
thẳng tạo bởi chiếc gậy và một trong các mép tường là hai đường thẳng chéo nhau.

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG
THẲNG SONG SONG

HĐ 2:
Trong không gian, cho một đường thẳng d và một điểm M không nằm trên d
(H.4.21). Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và d.
a) Trên mặt phẳng (P) có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và song song với d?
b) Nếu một đường thẳng đi qua M và song
song với d thì đường thẳng đó có thuộc mặt
phẳng (P) hay không?

Trả lời:
a) Trên mặt phẳng (P) có một và chỉ một đường
thẳng đi qua M và song song với d (theo tiên
đề Euclid).
b) Giả sử a là đường thẳng đi qua M và song song với d. Khi đó hai đường thẳng a
và d đồng phẳng. Mà điểm M và đường thẳng d đều cùng nằm trong mặt phẳng (P)
nên a và d cùng nằm trong mặt phẳng (P).
Vậy nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó thuộc
mặt phẳng (P).

KẾT LUẬN
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho
trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã
cho.

HĐ 3:
Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song song với mép trên của bảng.
Hai đường thẳng đó có song song với nhau hay không?
Trả lời:
Hai đường thẳng song song với mép trên của bảng, ta có thể chọn là
mép trên của tường có gắn bảng và mép dưới của bảng liền với
tường, hai đường thẳng này có song song với nhau.

KẾT LUẬN
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ví dụ 3:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AB, CD, AD, BC, AC, BD (H.4.22).
a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình
bình hành.
b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ,
RS cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.

Giải
a) Trong tam giác , ta có là đường trung bình nên và
Tương tự với tam giác , ta có và
.
Do đó và , suy ra tứ giác là hình bình hành.

Giải
b) Từ câu a suy ra hai đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đoạn.
Tương tự, hai đoạn thẳng MN và RS cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đoạn.
Do đó, các đoạn thẳng MN, PQ, RS cùng đi qua trung
điểm của mỗi đoạn.

Luyện tập 3:
Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng 4 điểm C, D, E, F đồng phẳng và tứ giác CDFE là hình bình
hành.

Giải:
Ta có: EF // AB (do ABEF là hình bình hành) và CD // AB (do
ABCD là hình bình hành).
Do đó, CD // EF.
Khi đó, hai đường thẳng CD và EF đồng phẳng hay bốn điểm C,
D, E, F đồng phẳng.

Lại có EF = AB và CD = AB (do ABEF và ABCD là các hình bình hành) nên CD = EF.
Vậy tứ giác CDFE là hình bình hành.

HĐ 4:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Một mặt phẳng (R) cắt (P) và
(Q) lần lượt theo giao tuyến a và b khác c
a) Nếu hai đường thẳng a và c cắt nhau tại M thì đường thẳng b có đi qua M hay không
(H.4.23)? Giải thích vì sao.
b) Nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c có song
song với nhau hay không (H.4.24)? Giải thích vì sao.

Trả lời:
a) Vì M thuộc a nằm trong mặt phẳng (R) nên M
thuộc mặt phẳng (R).
Vì M thuộc c nằm trong mặt phẳng (Q) nên M thuộc
mặt phẳng (Q).
Do đó, M là một điểm chung của hai mặt phẳng (R)
và (Q).
Lại có hai mặt phẳng (R) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng b.
Vậy M thuộc b hay đường thẳng b đi qua điểm M.

Trả lời:
b) Ta thấy ba đường thẳng phân biệt a, b, c đôi
một đồng phẳng.
Do đó, nếu không có hai trong ba đường thẳng
nào trong chúng cắt nhau thì a, b, c đôi một
song song.
Vậy nếu hai đường thẳng a và c song song với
nhau thì hai đường thẳng b và c song song
với nhau.

KẾT LUẬN
Định lí về ba đường giao tuyến
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt
thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với
một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.25). Xác định
giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Giải
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung S và
chứa hai đường thẳng song song là AB và CD.
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD) là đường thẳng m đi qua S và song song với
AB, CD.

Bài tập nhỏ
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng
và . Xác định d và tìm vị trí tương đối của d với BD?
Giải
Ta có hai mặt phẳng và có:
Điểm chung; .
Vậy giao tuyến d là đường thẳng qua và song
song với và .
Ta có:
Mà

Luyện tập 4
Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Giải
Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm
chung S và chứa hai đường thẳng song
song là AD và BC.
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC) là đường thẳng n đi qua S và song
song với AD, BC.

Vận dụng 2
Một bề kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như
Hình 4.26. Giải thích tại sao đường mép nước AB song song với cạnh CD
của bề nước.

Giải:
Giả sử mặt phẳng (ABFE) mà mặt nước, mặt phẳng
(EFCD) là mặt đáy của bể kính và (ABCD) là một
mặt bên của bể kính.
Ba mặt phẳng (ABFE), (EFCD) và (ABCD) là ba mặt
phẳng đôi một cắt nhau theo các giao tuyến EF, AB
và CD.
Vì DC // EF (do đáy của bể là hình chữ nhật) nên ba đường thẳng EF, AB và
CD đôi một song song.
Vậy đường mép nước AB song song với cạnh CD của bể nước.

3. NHẮC LẠI KIẾN THỨC,
LÀM BÀI TẬP

Nhắc lại kiến thức hai đường thẳng song song trong không gian
• Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.
- Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a
và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.
- Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo
nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.
• Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng
một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Nhắc lại kiến thức hai đường thẳng song song trong không gian
• Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ
ba thì song song với nhau.
• Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao
tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với
một trong hai đường thẳng đó.

Bài 4.9 (SGK-tr82)
Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c. Những mệnh đề nào sau đây là
đúng?
a) Nếu a và b không cắt nhau thì a và b song song.
b) Nếu c và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b.
d) Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau.

Bài 4.10 (SGK-tr82) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các cặp
đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp
đường thẳng nào chéo nhau?
a) AB và CD

b) AC và BD

c) SB và CD

Giải
S

a) Hai đường thẳng AB và CD song song với
nhau do đáy ABCD là hình bình hành.
b) Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau do đây

C

D

là hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
A

B

Bài 4.10 (SGK-tr82) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các
cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song
song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?
a) AB và CD

b) AC và BD

c) SB và CD

Giải
S

c) Hai đường thẳng SB và CD chéo nhau.
Thật vậy, nếu hai đường thẳng SB và CD không chéo
nhau, tức là hai đường thẳng này đồng phẳng hay

C

D
A

bốn điểm S, B, C, D đồng phẳng,
B

S.ABCD là hình chóp.

trái với giả thiết

Bài 4.12 (SGK-tr82)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác MNCD là hình thang.
Giải
Xét tam giác SAB có M và N lần lượt là trung điểm của các
cạnh SA và SB nên MN là đường trung bình của tam giác
SAB, suy ra MN // AB.
Mà đáy ABCD là hình thang có AB // CD.
Do đó, MN // CD. Vậy tứ giác MCD là hình thang.

LUYỆN TẬP

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau
đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a,b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song
với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
A. Chỉ có (1) sai

B. Chỉ có (2) sai

C. Chỉ có (3) sai

D. (1), (2) và (3) đều sai