Giải Trí Khoa Học
Tác giả: Trần Thế Vỹ
Ebook miễn phí tại : www.Sachvui.Com

Mục lục:
Xác suất - Những cạm bẫy bất ngờ - Cạm bẫy của các Đấng Tối Cao
Xác suất - Những cạm bẫy bất ngờ - Cạm bẫy cho những người tính toán
Xác suất - Những cạm bẫy bất ngờ - Cạm Bẫy cho những ai Đam Mê Cờ
Bạc
Phần 1. Cạm bẫy của các Đấng Tối Cao.
♠. Chữ tình chữ hiếu, chữ nào trọng hơn?
Có một báo treo giải cho câu đố xã hội như thế này: “Vua, cha và thầy đi
cùng thuyền với ta. Đến giữa sông, thuyền bị chìm. Người duy nhất biết bơi
là ta. Ta phải cứu ai trước?”. Quả là khó khăn. Giải thưởng được trao cho
cậu bé 12 tuổi. Cậu trả lời: “Cứu người gần mình nhất.”. Nghĩ lại, thấy thật
là có lý. Cứu người gần mình nhất thì xác suất thành công cao hơn (với điều
kiện khoảng cách giữa mọi người rất nhỏ so với khoảng cách từ họ đến bờ).
Và xác suất cứu xong, quay trở lại để cứu người thứ hai cũng cao. Thế
nhưng, nếu cậu bé vào tuổi 21 và có vợ, còn đề ra như thế này: “Nữ hoàng,
mẹ và vợ đi cùng thuyền với ta. Đến giữa sông, thuyền bị chìm. Người duy
nhất biết bơi là ta. Ta phải cứu ai trước?”, chắc cậu chả dại dột gì trả lời câu
như vậy đâu. Còn mấy ông giám khảo mà chấm câu đấy giải nhất cũng liệu
cái thần hồn.
Thượng đế đã sinh ra Adam. Thấy chàng buồn, bèn lấy xương sườn của
chàng làm ra nàng Eva xinh đẹp. Để rồi một hôm, nàng nghe lời xui dại của
con rắn (hình như trong Kinh Thánh không nói con rắn này là đực hay cái)
ăn quả cấm. Nàng quyến rũ anh khờ Adam sa ngã theo. Họ chơi trò chơi Ái
Tình. Họ mãi mê đến nỗi Thượng Đế bực dọc và đuổi họ ra khỏi Thiên

Đàng. Có phải chăng Ái Tình là thứ tình cảm đầu tiên của giống Người
chúng ta?!. Đầu Tiên và Trường Tồn nhất. Và đến một ngày xa tít của thế
kỷ 21, một anh chàng đứng trước chữ Tình và chữ Hiếu không biết chọn cái
gì, đành phải phó thác cho Thượng Đế:
Mỗi lần đi chơi, anh chàng muốn hoặc đi về nhà mẹ hoặc đi tới nhà
người yêu. Mẹ và người yêu anh ta ở hai hướng khác nhau của con đường
(anh ta ở giữa). Anh ta thường phân vân không biết về đâu. Cuối cùng, anh
ta chọn được giải pháp thích hợp: hễ có xe buýt hướng nào trước, thì đi về
hướng ấy. Xe buýt của cả hai hướng cứ 15' có một chuyến. Sau một năm,
anh ta tổng kết lại thì phát hiện số lần đi về nhà người yêu lớn gấp hai lần
số lần về với mẹ. Anh chàng sung sướng: “Ái tình, Ái tình…Quả không sai
người ta gọi ngươi là đề tài muôn thuở của con người. Thượng đế thật là
tâm lý. Chính Ngài đã xui khiến cho ta chọn chữ Tình nhiều hơn.”.
Khi nghe câu chuyện trên, một cô bạn của tôi đã reo lên: “Thế mà em
chả biết cách chọn này. Vừa đúng em có hai ý trung nhân ở giữa hai đầu
đường. Em chả biết đi lại thế nào cho phải đạo nữa.”. Tôi nói: “Từ từ nào…
Nhưng thôi, cứ theo cách đấy. Sau ít lâu về thông báo cho tôi biết kết quả ra
sao.”. Bẵng đi một dạo, cô tiu nghỉu bảo với tôi: “Anh ạ, cái anh chàng em
không ưa lắm thì em phải đi đến gấp năm lần anh kia. Thượng Đế quả là
bên trọng bên khinh.”.
Thực ra, từ khi Thượng Đế đuổi Adam và Eva xuống thế gian này thì
Ngài đã phó thác Ái Tình cho Trái Tim của Con Người rồi. Còn… giải thích
hai hiện tượng trên phải dùng xác suất mới xong. Các bạn hãy theo dõi hình
sau:

Xe buýt đi về hướng mẹ bắt đầu từ lúc 6:00 sáng và cứ cách 15' có một
chuyến theo lịch: 6:00, 6:15, 6:30, 6:45, 7:00…Còn xe buýt đi về hướng
nhà người yêu lại có đầu tiên lúc 6:10 và cách 15' có một chuyến theo lịch:
6:10, 6:25, 6:40, 6:55, 7:10…Theo dõi trên hình, chúng ta thấy, nếu chàng
trai đi vào những thời điểm ngẫu nhiên thì thời gian anh ta đợi được xe buýt
về hướng người yêu gấp đôi thời gian về hướng mẹ. Từ 6:00 đến 6:10 anh
ta đợi chuyến đến người yêu (10'). Từ 6:10 đến 6:15 anh ta đợi chuyến đến
nhà mẹ (5'). Suy ra, xác suất anh chàng về hướng người yêu phải gấp hai
lần hướng mẹ. Và điều đó đã xảy ra trên thực tế.
Còn trường hợp đối với cô gái, thời gian (ví dụ) các chuyến xe buýt cách
nhau 30'. Và chuyến về anh chàng không thích lắm là 6:25, 6:55, 7:25…,
chuyến về anh chàng thích là 6:00, 6:30, 7:00…Chuyện cô gái phải ăn quả
đắng đi về hướng anh chàng không thích lắm nhiều hơn gấp 5 lần không
dính dáng gì đến Thượng Đế cả. Trừ phi, cô nàng thuyết phục hai anh chàng
đổi chỗ cho nhau mà kết quả vẫn như trên…Thì… chứng tỏ Thượng Đế đã
xui khiến cho công ty xe buýt thành phố đổi lại lịch xe đúng khi hai anh
chàng chuyển chỗ cho nhau!!![1]
♣. Thánh nhân đãi kẻ khù khờ?
Một nhà thông thái nghĩ mình đã biết hết mọi việc trên đời. Có lần, ông
gặp một bác nông dân trông thật là…nông dân. Quá tự phụ vào kiến thức
của mình, ông ta bảo bác nông dân: “Bây giờ, ông hỏi tôi một câu, nếu tôi

không trả lời được thì tôi trả ông 10 đồng. Sau đó, tôi hỏi ông một câu, ông
không trả lời được, ông trả tôi 1 đồng.”. Bác nông dân “Được, tôi chấp nhận
cá cược.”. “Vậy, nhường ông hỏi trước.”, nhà thông thái trả lời. Bác nông
dân nói “Tôi xin hỏi ông, con gì chạy xuống núi bằng bốn chân, mà chạy
lên núi chỉ bằng ba chân.”. Suy nghĩ mãi, nhà thông thái đành trả lời: “Tôi
không biết.”, và rút 10 đồng ra trả. Ông ta bèn hỏi: “Con gì ngộ vậy?”. Bác
nông dân rút 1 đồng trả nhà thông thái và nói: “Tôi cũng không biết.”.
Trong cuộc sống thường ngày và ngay cả trong khoa học, chúng ta chứng
kiến không biết bao nhiêu trường hợp:
“Ai đời châu chấu đá xe
Tưởng rằng chấu ngã, ai dè xe nghiêng”
như thế…
Trong cuốn Mathematical Puzzles and Diversions, Martin Gardner đã
dẫn một ví dụ tuyệt diệu về khả năng chiến thắng kẻ mạnh hơn như sau:
Smit, Brown và John quyết định đấu súng tay ba theo luật sau: đầu tiên
họ sẽ bốc thăm xem ai bắn trước, bắn nhì và bắn cuối. Mỗi người đến lượt
mình chỉ bắn được một phát và có thể nhắm vào bất kỳ người nào. Cuộc
đấu súng tiếp diễn đến khi chỉ còn sống sót một người. Thoả thuận về luật
và bốc thăm xong, ba người đứng vào vị trí của mình (là đỉnh của tam giác
đều). Cả ba đều biết khả năng hai đối thủ của mình: Smit không bao giờ
trượt, Brown bắn trúng đến 80% số lần bắn, còn John thì bắn trượt cũng
như bắn trúng(50/50).
Ai sẽ là người có cơ hội sống sót lớn nhất? Biết rằng cả ba đều thực hiện
chiến thuật tối ưu nhất. Và kết quả bốc thăm được sử dụng cho cả trận đấu.
Khi tôi giới thiệu bài toán này với những người bạn, tôi đã nhận rất nhiều
ý kiến giải đáp khác nhau. Có người cho Smit có khả năng sống sót nhiều
hơn, có người cho Brown thoát khỏi hiểm nguy cao nhất. Một trong số ý
kiến đó có lý luận sau đáng chú ý: việc bốc thăm sẽ cho cơ hội đồng đều
cho cả ba bắn trước. Vậy xác suất của mỗi người được bắn trước là 1/3. Ta
xét xem xác suất sống sót của mỗi người:
Trường hợp 1: xác suất 1/3, Smit bắn trước. Chiến thuật tối ưu của anh
ta: bắn vào Brown. Anh ta hạ Brown, lúc đó John sẽ bắn vào chàng ta với
xác suất trúng đích là 50%. Nếu trật (cũng với xác suất 50%) thì Smit sẽ kết
liễu John. Vậy với trường hợp này xác suất của anh chàng thiện xạ được
sống sót là 1/3 x 1/2 = 1/6. Xác suất sống sót của John là 1/6 và của Brown
bằng 0.

Trường hợp 2: xác suất 1/3, Brown bắn trước. Chiến thuật tối ưu của
anh ta: bắn vào Smit (xem hình 2). Nếu hạ thủ được Smit với xác suất 4/5,
thì xác suất đấu trực tiếp của anh ta với John khi John bắn trước là 4/9 đọ
5/9 (nếu Brown bắn trước sẽ là 8/9 đọ 1/9). Như thế, theo hướng này xác
suất John sống sót là 1/3 x 4/5 x 5/9= 4/27, Brown sống sót là 1/3 x 4/5 x
4/9 = 16/135. Nếu không hạ được Smit với xác suất 1/5 thì mỗi người Smit
và John có xác suất ½ để bắn tiếp theo. Và theo biểu đồ, chúng ta có thể
tính toán cho trường hợp này xác suất sống sót của từng người là:

Smit: 1/60 + 1/120 =1/40

John: 1/540 +1/60 + 1/120 + 4/27=7/40

Brown: 8/540 + 16/135=2/15

(Cộng tất cả các số này lại với nhau sẽ được 1/3)
Trường hợp 3: John bắn trước với xác suất 1/3. Theo hình 3 ta có thể
tính được như sau:

Smit: 1/24 + 1/120 =1/20

John: 1/24 +1/120 + 1/54 + 1/27=19/180

Brown: 4/27 + 4/135=8/45

(Cộng tất cả các số này lại với nhau sẽ được 1/3)
Như thế xác suất sống sót của mỗi người là:
Smit: 1/6 +1/40 + 1/20=29/120 =0.242

John: 1/6 + 7/40 + 19/180 =161/360 =0.447

Brown: 2/15 + 8/45 = 14/45=0.311
Rõ ràng, cách tính trên đã chọn cách tối ưu cho cả ba người là: Khi còn
hai đối thủ, người bắn nhằm vào kẻ bắn giỏi hơn. Lúc đó, nếu cơ may đối
thủ bị bắn chết thì người bắn vào mình sẽ là tay amatơ hơn. Và cơ hội sống
nhiều hơn. Lý luận này đã đúng chưa? Hoá ra, anh chàng thiện xạ có xác
suất sống còn thấp nhất. Nhưng các bạn hãy chú ý một điểm rất nhỏ thôi,
nhưng cũng đánh gẫy toàn bộ lý luận trên đây. Nếu xét việc bắn trước là
một cơ hội tốt của người bắn để thoát hiểm, chúng ta thấy điều này chỉ đúng
với Smit. Ngược lại, không đúng cho John và Brown (cái xác suất sống sót
của Brown tăng lên vì do John chọn sai chiến thuật tối ưu). Khi John bắn

trước, nếu sử dụng cách này xác suất sống còn của anh ta là 19/180 đối với
1/6 và 7/40 khi Smit và Brown bắn trước tương ứng. Vậy việc gì John phải
bắn vào ai đó, bởi vì bất kỳ người nào bắn tiếp theo (vẫn còn ba người) thì
xác suất sống còn của John vẫn cao hơn khi anh ta nhắm vào người khác mà
bắn? Chiến thuật tối ưu của John là bắn lên trời. [2] Ngoài những con số ở
trên, chúng ta thấy John sử dụng phương thức này để tận dụng cho hai đối
thủ mạnh loại trừ nhau. Quan trọng nhất, theo đúng luật khi một đối thủ của
John bị loại thì người bắn trước lại là John. Và trong bất kỳ trường hợp nào,
anh ta cũng có xác suất hơn ½ sống sót. Chiến thuật tối ưu của Smit đã rõ,
anh ta phải bắn vào Brown. Còn Brown cũng vậy, biết rằng John sẽ ngư ông
đắc lợi mà bắn vào John không được. Chỉ còn cách bắn vào Smit để tăng
cao xác suất sống còn mình lên. Từ những lý luận trên, chúng ta có thể thiết
lập biểu đồ xác suất cho cả ba xạ thủ như hình 4:

Xác suất cho mỗi người Brown và Smit bắn trước là ½ (Khi còn ba
người John là outsider, không tính đến vì anh ta không bắn vào ai cả). Và
diễn biến tiếp theo có thể dễ nhận thấy theo hình vẽ. Xác suất của ba người
được tính như sau:
Smit: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 = 3/10

Brown: 1/2 x 4/5 x 4/9 = 8/45

John: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 + 1/2 x 4/5 x 5/9 = 47/90

Như vậy chúng ta thấy một “nghịch lý” như sau: John-người bắn kém
nhất lại có cơ may sống sót hơn cả cơ may của hai anh chàng bắn giỏi cộng
lại. Có phải chăng thánh nhân đãi kẻ khù khờ hay là điều kỳ diệu của xác
suất.[3]
♥. Lời an ủi của Diêm Vương?
Ngọc Hoàng Thượng Đế thức giấc, Ngài phóng mắt khắp cõi dương gian
và địa ngục xem thần dân của mình ra sao. Đến cửa địa ngục, Ngài thấy ba
linh hồn Ghost, Ma và Quái đang xếp hàng chờ đến lượt nhập hộ khẩu. Có
lẽ đêm hôm qua, Ngài không gặp ác mộng, nên trong lòng khoan khoái
muốn mở lượng từ bi. Ngài quyết định hồi dương một trong ba linh hồn tội
lỗi kia. Ngài bèn sai Nam Tào, Bắc Đẩu viết tên ba linh hồn lên ba tờ giấy
và đảo kỹ. Sau đó, Ngài bốc một tờ đưa cho Nam Tào:
-Đây là tên linh hồn được quay về dương gian. Các ngươi mau gõ dây
thép xuống cho Diêm Vương được biết!
-Dạ, tuân lệnh.
Đang yên giấc nồng, nhận được điện khẩn từ Thiên Đình, Diêm Vương
vội tỉnh ngủ, sửa sang lại cân đai áo mão cho vời ba linh hồn Ghost, Ma,
Quái đến và phán rằng:
-Trong số các ngươi, có một người sẽ được quay về dương gian. Mau
chuẩn bị tinh thần sẵn sàng mà hồi dương.
-Chà…
Ba linh hồn quay ra, Diêm Vương thấy Ma còn lần chần không dứt bèn
hỏi:
-Nhà ngươi còn chuyện gì không?
-Dạ, thưa Diêm Vương anh minh! Chắc Ngài không muốn chỉ ra ai trong
chúng con được quay về. Con chỉ xin Ngài ân huệ nhỏ.
-Được! Ngươi cứ nói.
-Nếu như một trong hai linh hồn kia được tha về thì Ngài nêu ra tên
người ngược lại. Nếu con được tha về thì Ngài có thể nêu bất kỳ tên một
trong hai linh hồn kia.
Diêm Vương suy nghĩ một lúc, và nói:
-Thôi được, có một điều an ủi cho ngươi, đó là Quái.
Linh hồn Ma quay về, thấy khoan khoái trong lòng vì nghĩ mình đã lỡm
được Diêm Vương. Bởi vì, bây giờ chỉ còn một trong hai người Ghost và
Ma được hồi dương. Vậy xác suất hồi dương của mình là ½. Bỗng dưng khi
chưa hỏi, thì xác suất hồi dương là 1/3, bây giờ lên được ½ sướng quá còn

gì. Còn Diêm Vương thì lẩm bẩm: “Đúng là ngốc tử! Hắn cứ tưởng ta cho
hắn một niềm an ủi…”.
Thế thì xác suất được hồi dương của Ma là bao nhiêu?
Thực ra, xác suất của Ma vẫn bằng 1/3. Lúc ban đầu khi Ngọc Hoàng
Thượng Đế chọn tên để hồi dương một cách ngẫu nhiên như thế, nên xác
suất được hồi dương ban đầu của cả ba là 1/3. Đến lượt Diêm Vương thì
nhóm ba người này được chia thành hai nhóm nhỏ. Nhóm thứ nhất là Ma,
nhóm thứ nhì gồm cả Ghost và Quái với xác suất tương ứng là 1/3 và 2/3.
Theo điều kiện của Ma, Diêm Vương chọn giữa một trong hai người Ghost
và Quái một người không được hồi dương. Xác suất Diêm Vương chọn
được bằng 1 và không ảnh hưởng gì đến xác suất từng nhóm. Và khi Diêm
Vương lộ tẩy bất kỳ một người nào trong nhóm hai thì xác suất nhóm hai và
nhóm một không thay đổi. Có nghĩa xác suất của Ma vẫn bằng 1/3 còn xác
suất của Ghost được tăng lên thành 2/3 bởi vì xác suất của Quái đã bằng 0.
Để dễ hiểu ta(người chia bài) chọn ba con bài Át Cơ, Át Rô và Át Bích
chia cho ba người A, B, C. Xác suất của mỗi người nhận được Át Bích khi
chia xong (hay khi chưa lật con nào cả nhưng mỗi con bài đã an vị cho mỗi
người) là 1/3. Bây giờ, ta chia ra hai nhóm: nhóm có mỗi A và nhóm có con
bài của hai người B, C. Rõ ràng nhóm của hai người B, C có xác suất có
con Át Bích bằng 2/3. Nhìn hai lá bài của B, C và chọn ra lá khác Át Bích
lật ra (xác suất bằng 1). Điều này hoàn toàn không làm ảnh hưởng đến xác
suất của hai nhóm. Duy chỉ có điều, nhóm hai bây giờ chỉ còn một người và
xác suất của anh ta tăng gấp đôi bằng 2/3. Trong khi đó nhóm 1 xác suất
của A không đổi bằng 1/3.[4]
Ta lại tự đặt cho mình hai tình huống nữa:
-Sau khi chia bài ta rút một con bài nào đó và lật ra. Nếu con bài đó
không phải Át Bích thì xác suất của hai người còn lại bằng bao nhiêu?
Trường hợp này, ta hoàn toàn không chọn gì cả và xác suất con bài bị lật là
Át Bích vẫn bằng 1/3. Lúc này, ba con bài vẫn nằm trong một nhóm tính
xác suất đồng nhất và bằng 1. Khi lật lá bài kia ra và phát hiện không phải
Át Bích, xác suất của nhóm vẫn bằng 1, nhưng vì hai phần bài còn lại hoàn
toàn tương đương nhau trong nhóm nên xác suất của chúng trở thành ½.
-Sau khi chia bài, ta lại cầm lấy cả ba và lật một con bài không phải Át
Bích ra. Lý luận tương tự trên ta cũng sẽ thấy xác suất của mỗi tay bài còn
lại là Át bích bằng ½.

Hai trường hợp này có xác suất giống nhau và lý luận cũng giống nhau,
vậy tại sao phải chia thành hai trường hợp??? Trường hợp nhất, ta cùng ba
người chơi phó mặc cho số phận khi lật con bài kia ra. Cái reo vui của hai
anh chàng còn lại vì được tăng xác suất đổi bằng cái sầu thảm của anh thứ
ba. Và anh thứ ba không trách ta không kéo dài thời gian vui thêm một lúc.
Việc ban phát buồn vui là của Thượng Đế. Trường hợp hai, chính ta chọn và
ta lại ban cho hai anh này một niềm vui ngắn ngủi còn anh thứ ba một nỗi
buồn. (nếu như có con Át Bích sẽ được 1000$ chẳng hạn). Việc ban phát
buồn vui là việc của ta.[5]
[1]. Cũng không cần thiết hai đầu đường. Nếu như một bến xe buýt có
các số 01 chạy về nhà mẹ, 02 chạy về nhà cô giáo, 03 chạy về Nữ Hoàng và
04 chạy đến với người yêu, ta vẫn thiết lập được lịch trình và tính xác suất
cụ thể cho từng trường hợp.
[2]. Có người nói, nếu lý luận trên thì ai cũng chờ cho hai đối thủ của
mình sát hại lẫn nhau, rồi đến lượt mình bắn chết người còn lại. Điều này
đúng nhưng không dành cho Smit vì anh ta là người bắn trăm phát trăm
trúng và đây là cuộc đấu súng nên anh ta không thể nhắm vào cột điện mà
bắn được. Anh ta phải hạ sát người nào đó khi đến lượt. Và dẫn tới Brown
cũng phải bắn vào Smit nếu có lượt trước Smit.
[3]. Những lý luận trên có thể sẽ không đúng với trường hợp 4 hay nhiều
hơn người. Chẳng hạn có cuộc đấu súng tay tứ và thêm anh chàng Holmes
nào đấy với xác suất bắn trúng là 40%...thì xác suất sống sót mỗi người
hoàn toàn khó tính. Vấn đề rất quan trọng là khi đấy, ta gặp một vòng lẩn
quẩn. Tìm chiến thuật tối ưu xong tính xác suất. Nhưng khi tính toán xong
ta mới nhận ra chiến thuật tối ưu như thế nào. Vì lẽ này, người giải cần tính
toán tất cả các khả năng xảy ra và vạch ra chiến thuật tối ưu cho từng người.
Một việc làm không dễ dàng. Mời quý vị độc giả thử xem.
[4]. Ta có thể làm cho rõ hơn nữa qua ví dụ sau: Giả sử bốc được lá bài
Át Bích sẽ được thưởng 1000$. Có một bộ bài Tây 52 lá, người A rút một lá
vậy xác suất anh ta nhận được Át Bích bằng 1/52. A chưa lật bài ra, ta chọn
trong 51 lá còn lại 50 lá không phải Át Bích lật ra. Vậy, xác suất của A có lá
bài Át Bích là ½ chăng?! Hiển nhiên không đúng. 51 lá còn lại có xác suất
là 51/52. Và vì lúc nào ta có thể tìm 50 lá trong 51 khác Át Bích nên chuyện
lật hay không lật ra không ảnh hưởng đến xác suất hai nhóm. Ví thế A vẫn
có xác suất 1/52 còn lá bài còn lại có xác suất là 51/52.

[5]. Tất cả những trường hợp trên đều là những bài toán Đại số của xác
suất mà thôi. Có lần, một anh bạn trẻ hỏi tôi: Có một bộ bài 52 lá, anh bốc
một lá và chưa xem. Xong tôi bốc một lá, hỏi xác suất lá của tôi là Át Bích
bằng bao nhiêu? Anh bạn lý luận: Nếu lá bài của anh là Át Bích thì xác suất
của tôi có Át Bích bằng 0. Nếu lá bài của anh không phải là Át Bích thì xác
suất lá bài của tôi là Át Bích bằng 1/51. Vậy tại sao xác suất lá bài của tôi là
Át Bích bằng 1/52? Thực ra, khi nói đến việc bốc lá bài ra người ta nghĩ đến
việc trừ những lá bốc rồi (kể cả khi chưa nhìn). Nếu ta xét một bàn quay có
52 ô, tôi đánh dấu một ô cho tôi còn anh bạn kia đánh dấu một ô cho anh ta
và quay. Vậy xác suất kim vào đúng ô của tôi hay của anh bạn đều bằng
1/52. Ngoài ra, bản chất xác suất là bình quân các khả năng, ví dụ như
trường hợp đấu súng tay ba người ta thấy John bắn trúng cũng như bắn trật.
Khi thấy John bắn trúng 3 phát liền, như vậy mấy phát tiếp theo John phải
bắn trật. Lý luận này không đúng theo tinh thần xác suất. Xác suất được
tính trong một quá trình các trường hợp xảy ra khá nhiều và nó mang ý
nghĩa bình quân. Chính vì thế, trở lại câu hỏi anh bạn trẻ, tôi đã trả lời anh
ta: có mấy trường hợp tôi bốc con Át Bích-có một với xác suất bạn bốc Át
Bích bằng 0. Vậy có mấy trường hợp tôi không bốc được con Át Bích- 51
với xác suất bạn bốc được Át Bích là 1/51. Khi ta chưa biết lá bài của tôi,
muốn tính xác suất của bạn, ta phải tính bình quân tất cả các khả năng: (51
x 1/51 + 1 x 0)/52= 1/52.
Phần hai: Cạm bẫy cho những người tính toán
Trong phần một, chúng ta đã thấy nhiều khi, thay vì giải thích bằng phép
thuật của các Đấng Tối Cao, nếu chịu khó một chút, ta có thể giải thích
bằng Xác Suất. Nhưng liệu cái Xác Suất đó có phải Đấng Tối Cao không thì
lại là chuyện khác. Có những thứ cứ ngẫm nghĩ thấy chỉ có Thượng Đế mới
làm được thôi, nhưng cuối cùng cũng có thể giải thích bằng Xác Suất. Ví
dụ, quỹ đạo của điện tử (electron) trong nguyên tử- các bạn thử tưởng tượng
một anh chàng láo nháo, động đậy liên tục thế mà cũng chuyển động theo
quỹ đạo. Khó tin quá!!! Các bạn đừng vội cho đó là quỹ đạo. Những hình
vẽ được biểu diễn cho quỹ đạo của electron chẳng qua vùng biểu thị xác
suất tìm thấy electron lớn nhất.

Phái nào ngoại tình nhiều hơn?
Ở Việt Nam ta, những đức tính cao quý như Công, Dung, Ngôn, Hạnh
vẫn được phụ nữ chúng ta gìn giữ một cách trân trọng. Thời buổi kinh tế thị
trường, nhịp sống dường như nhanh hơn, hối hả hơn. Hậu quả của nó là
người ta cảm thấy có nhu cầu sống gấp hơn, thực dụng hơn kể cả những
liễu yếu đào tơ. Theo thống kê, số lượng các cặp vợ chồng ly hôn ở Mỹ là
54%, ở Nga 56%(cao nhất) mà nguyên nhân phần lớn là do bạo hành gia
đình và ngoại tình. Thế nhưng, có những thống kê nhiều khi lại dẫn dắt
chúng ta đến kết luận sai lầm trầm trọng:
Theo thống kê cho thấy phần châu Âu của nước Nga (chỉ là ví dụ
thôi), xác suất tìm người đàn ông ngoại tình lớn hơn người đàn bà ngoại
tình với tỷ lệ 75 và 65% tương ứng, còn ở phần châu Á cũng vậy nhưng
vì ảnh hưởng văn hoá Á Đông nên cũng ít đi chút đỉnh 30 và 20% tương
ứng. Thế ở nước Nga, đàn ông nói chung ngoại tình hơn đàn bà chăng?
Tôi cam chắc với các bạn, không 100% thì 99,99% số người được hỏi sẽ
bảo “hiển nhiên là vậy.”. Các bậc mày râu thì thở dài ngao ngán: “Mấy vị
làm thống kê này chắc toàn phụ nữ hay sao ấy.”. Còn các bà thì chì chiết
“Đấy nhé, còn chối không?. Con số thống kê rành rành nhé.”.
Ấy, đừng vội hoảng quí ông, và cũng đừng vội đe nghiến quí bà. Kể cả
những con số chênh lệch khủng khiếp thế cũng không chứng tỏ ở nước Nga
nói chung, người đàn ông ngoại tình hơn phụ nữ. Chỉ có điều, tất cả người
được hỏi đã để cho những con số đánh lừa cảm giác của mình. Và chúng ta
đã suy đoán vấn đề không như nó thế mà như nó có vẻ thế. Hay là, chúng ta
đánh giá vấn đề theo cảm giác và phỏng đoán. Chúng ta thử tính toán một
tý xem sao:
Đặt a1 là số đấng mày râu phần châu Á nước Nga, a2 là số quí ông ở phần
châu Á ngoại tình. Và b1, b2 là số phái đẹp châu Á tương ứng.
Tương tự cho phần châu Âu nước Nga là c1, c2 (quí ông) và d1, d2 (quí
bà) tương ứng.
a2/a1 = x%
b2/b1 = y%
x>y
c2/c1 = z%
d2/d1 = t%

z>t
Liệu chúng ta có thể khẳng định:
(a2 + c2)/(a1 + c1) > (b2 + d2)/(b1 + d1)
Đây là bài đại số sơ đẳng và các bạn có thể tìm ra vô số thí dụ để khẳng
định điều ngược lại. Ngay cả đối với những thông số x=0.75, y=0.65, z=0.3,
t=0.2 như đề bài. Ta lấy những con số sau:
a1 = 24.000.000, a2 = 7.200.000
b1 = 9.800.000, b2 = 1.960.000
c1 = 8.000.000, c2 = 6.000.000
d1 = 14.000.000 d2 = 9.100.000
Như vậy, tổng số quí ông và quí bà là 32.000.000, 23.800.000 tương ứng.
Và số các gentlemen và ladies phạm lời thề hôn nhân sẽ là 13.200.000,
11.060.000. Xác suất tìm thấy người đàn ông ngoại tình ở nước Nga là
41,25% và người phụ nữ ngoại tình lại là 46,47%!!!
Hay chúng ta muốn tạo nên khung cảnh đầy kịch tính hơn:
Xác suất tìm người đàn ông ngoại tình ở hai phần Á, Âu của nước
Nga đều lớn hơn xác suất tìm thấy người phụ nữ ngoại tình là 10%. Liệu
xác suất tìm thấy người đàn ông ngoại tình của toàn nước Nga có lớn
hơn tìm thấy người phụ nữ ngoại tình. Hoàn toàn không chắc!!! Thậm
chí, ngược lại có những thông số cho thấy những người phụ nữ vẫn
ngoại tình hơn đàn ông như thường. Mà cũng lại hơn đến 10%!
Ta vẫn lấy x, y, z, t như trên và các thông số sau:
a1 = 28.000.000, a2 = 8.400.000
b1 = 9.000.000, b2 = 1.800.000
c1 = 8.000.000, c2 = 6.000.000
d1 = 18.000.000 d2 = 11.700.000
Xác suất tìm thấy người đàn ông ngoại tình ở nước Nga là 40% và người
phụ nữ ngoại tình lại là 50%!!!
Trên đây, chúng tôi lấy ví dụ cho quí độc giả thấy có những thông số
đánh lừa cảm giác chúng ta dẫn đến những kết luận sai lầm tai hại. Khi nói
đến danh từ xác suất làm cho người ta dễ đơn giản hoá các thông số thành
thông số duy nhất P(A) và P(B). Và lầm tưởng mình có thể cộng, trừ, so
sánh chúng với nhau. Cũng không ít người trong các bạn cho rằng, những
con số trên làm sao đánh lừa được người tính toán chuyên nghiệp. Đúng là
như vậy, nhưng có những bài toán xác suất khi đọc điều kiện bài toán cứ

ngỡ như tìm ra cách giải đúng nhất. Nhưng sau đấy sẽ có người khác chỉ
cho chúng ta cách lý luận khác, cũng hợp lý không kém, đưa đến một đáp
số khác Xin các bạn đọc đoạn trích dưới đây trong cuốn Mathematical
puzzles and diversions của Martin Gardner:
“Charles Sanders Pears có nói, chưa có một lãnh vực toán học nào mà
người chuyên gia sai lầm dễ dãi như lý thuyết xác suất. Lịch sử đã khẳng
định điều này. Ngay cả G. W. Leibniz cũng từng cho rằng khi tung hai con
xúc xắc lên thì số lần nhận được 12(tổng số hai con xúc xắc cộng lại) cũng
bằng số lần xuất hiện 11.
…….
Thời này, lý thuyết xác suất cho những câu trả lời chính xác và rõ ràng
với một yêu cầu: trong điều kiện bài toán phải xác định rõ ràng bằng
phương pháp nào ta thử sự kiện ngẫu nhiên.”
Và một thí dụ cổ điển nhất minh chứng cho tính không nhất quán của bài
toán xác suất là bài toán sau:
Hình tam giác có dễ tạo không?
Tại sao không dễ nhỉ?!. Chấm ba chấm trên tờ giấy trắng. Nối ba điểm
lại theo từng cặp ta được một tam giác (xác suất bạn chọn ba điểm trên một
đường thẳng hầu như bằng không). Chúng tôi không nói đến cách này, bạn
thử làm thí nghiệm như dưới đây:
Bẻ một que (bằng gỗ) thành ba phần một cách ngẫu nhiên. Ba phần
nhận được bạn thử tạo thành tam giác. Và tìm xác suất ba phần đó tạo
thành hình tam giác.

Chúng ta cho rằng hai điểm cắt thanh gỗ
được chọn rất ngẫu nhiên và nằm bất kỳ ở đâu trên thanh gỗ và độ dài thanh
gỗ là 1 đơn vị. Vậy, các thanh OA, OB, OC có độ dài ngẫu nhiên trong
khoảng [0,1]. Ta dựng hình tam giác đều có đường cao bằng 1. Chắc ai
trong chúng ta đều chứng minh được “Cho điểm O trong tam giác đều.
Tổng ba đoạn vuông góc từ O xuống ba cạnh tam giác bằng đường cao của
tam giác.”. Vậy, bất kỳ ta bẻ như thế nào ta cũng dựng được điểm O trong
tam giác lớn. Và bất kỳ điểm O ở đâu trong tam giác lớn ta cũng tìm được
một cách bẻ (hay là hay chỗ bẻ) trên que gỗ. Điều này có nghĩa các điểm O
ứng với các càch bẻ khác nhau lấp đầy tam giác lớn. Nhưng chỉ có phần
trong tam giác nhỏ màu xanh là cho phép chúng ta dựng được hình tam giác
(một cạnh không lớn hơn hai cạnh còn lại). Suy ra, xác suất bằng ¼.
Thế nhưng, trên thực tế khi nói đến động từ bẻ hai lần, ta có thể nghĩ như
sau:
Đầu tiên, ta bẻ ngẫu nhiên que gỗ thành hai phần. Sau đó, chọn một
đoạn trong hai phần đó bẻ ra thành hai phần nữa. Tìm xác suất để ba
phần này tạo thành hình tam giác.
Có một ý kiến thế này: Lấy đoạn OA là đoạn nhỏ khi chia lần đầu tiên.
Vậy O phải nằm trong ba phần dưới của tam giác to. Còn đoạn lớn bẻ ra hai
phần (xác suất chọn được phần lớn để bẻ tiếp là ½). Như vậy, xác suất điểm
O vào phần màu xanh là 1/3. Như vậy xác suất đề ra là 1/3 x ½ =1/6.

Trên thực tế, cách tính trên hoàn toàn sai
(theo sách đã dẫn, cách chứng minh này của một chuyên gia tên là Witvort
đưa ra). Với hình vẽ trên, ta thấy các tam giác bằng nhau. Nhưng khi tính
xác suất thì các tam giác trên hoàn toàn không bằng nhau tý nào cả!!! Khác
với trường hợp một, các điểm đều được biểu thị cho một trạng thái bẻ của
que và tất cả các điểm này có giá trị như nhau khi tính xác suất. Và “tổng tất
cả trường hợp” để xét xác suất cho tất cả điểm O là tam giác lớn không thay
đổi. Còn trường hợp hai, “tổng tất cả trường hợp” là đoạn MN thay đổi theo
độ dài x của đoạn OA. X càng lớn thì MN càng nhỏ và trọng lượng từng
trường hợp xảy ra trên MN càng lớn. Nói cách khác, các điểm O hoàn toàn
không bình đẳng với nhau. Chúng đi kèm với xác suất xảy ra trên MN. [1]
Vậy O càng lên trên thì giá trị để tính xác suất của nó càng lớn. Mà theo
hình vẽ, càng lên trên đoạn màu xanh càng lớn, ngược lại đoạn màu đỏ càng
nhỏ đi. Có nghĩa, trong tam giác màu xanh, trọng lượng xét xác suất tăng
dần từ đỉnh đến đáy, còn tam giác màu đỏ lại giảm dần. Hai tam giác vì thế
không thể nào bằng nhau về giá trị tính xác suất. Muốn tính xác suất của
trường hợp hai, ta phải nhờ đến tích phân.
Với một x nào đó, xác suất điểm O nằm trong phần màu xanh là x/(1-x).
Ta lấy trung bình của tất cả xác suất này theo x biến thiên từ 0 đến ½. Giá
trị đó bằng:

Và phải tính thêm xác suất chọn được đoạn lớn để bẻ bằng ½ nữa, ta
được kết quả 0,193 lớn hơn 1/6.
Xác suất ¼ như cách tính 1 có được (lớn hơn 0,193) vì ta tính xác suất bẻ
lần thứ hai đúng vào phần lớn hơn không phải là ½ mà lớn hơn. Nó tỷ lệ
thuận với độ dài của đoạn lớn. Và nếu ta đặt bài toán như sau:
Đặt que gỗ vào máy chặt, chỉnh máy chặt sao cho khoảng di động của
dao chạy theo đúng chiều dài của thanh gỗ. Mỗi lần chặt, máy chặt tự
chọn ngẫu nhiên điểm chặt trong khoảng đó. Chặt hai lần được ba phần.
Tìm xác suất sao cho ba phần đó lập được tam giác.
Vâng, thưa các bạn nếu bài toán như vậy thì xác suất chính xác bằng ¼.
Bài toán này đã gây khá nhiều tranh luận trong bạn bè chúng tôi. Khi
chúngtôi giải thích tất cả những khúc mắc của nó, mọi người đều đồng ý
như tôi đã viết trên. Thế nhưng, chúng tôi nhận được một lời giải thích khá
hay của một anh bạn trẻ-và chúng tôi nghĩ đó là lời giải thích chu đáo, cặn
kẽ:
“Anh Vỹ thân mến!
Khi dùng động từ bẻ thì chắc chúng ta tuyệt đối không thể dùng
phương pháp một để giải, vì nó không toát lên ý nghĩa của từ bẻ. Cách
một phù hợp hoàn toàn với bài toán máy chặt như anh đã giải thích. Thế
nhưng, ngay cả cách hai tuy đúng nhưng không logic trên thực tế. Khi ta
nói bẻ có nghĩa là chia cái gì đấy bằng tay ra hai phần. Nếu chia que gỗ
ra chỉ hai phần thôi thì mọi việc đơn giản quá. Nhưng ở đây là chia ra ba
phần, như vậy ta phải bẻ hai lần. Mà đã bẻ làm hai hay lớn hơn lần thì
phải có trạng từ bổ ngữ thêm nữa: đó là bẻ các lần cách quãng hay bẻ
liên tiếp. Cách giải hai phù hợp với bẻ hai lần cách quãng. Đúng hơn là:
yêu cầu một người bẻ que gỗ. Sau đấy, ta cầm cả hai phần và chìa hai
đầu (đã chỉnh cho bằng đầu để người kia không biết đâu là que dài) cho
anh ta chọn. Chọn xong, anh ta bẻ đoạn đã chọn ra thành hai phần. Tìm
xác suất sao cho ba đoạn nhận được có thể tạo thành tam giác. Như vậy,
cách này có toát lên ý nghĩa của từ “bẻ” không?
Hay, người bẻ (trung thực trong cách bẻ ngẫu nhiên) chọn lựa cách bẻ
hợp lý trên thực tế hơn. Anh ta bẻ ngẫu nhiên lần một trên que gỗ. Sau
đó, tuỳ sở thích của từng người, anh ta thả rơi đoạn bên trái xuống (tay
trái thả ra) trong khi tay phải vẫn nắm giữ đầu bên phải của que gỗ. Và
tiếp tục bẻ tiếp phần còn lại trong tay phải ra hai phần một cách ngẫu
nhiên. Tìm xác suất sao cho ba đoạn tạo thành tam giác.

Rõ ràng, cách bẻ này liên tiếp không dứt quãng và tiết kiệm thời gian
cho người bẻ. Đồng thời, cách bẻ này toát lên ý nghĩa từ “bẻ” chân thật
nhất. Xác suất tính được cũng bằng 0,193. Nhưng cách giải thích xác
suất chọn thanh dài để bẻ bằng ½ hoàn toàn khác. Vì anh ta bẻ liên tiếp
như thế, nên chỉ khi điểm bẻ của lần đầu anh ta chọn nằm trên nửa trái
của que, thì phần bẻ tiếp theo mới là đoạn dài hơn được. Suy ra xác suất
bằng ½.[2]
Thật là sai lầm khi nói đến tính không nhất quán của bài toán xác suất
mà không đề cập đến bài toán Bertran (nhà toán học người Pháp Josep
Bertran ), còn gọi là nghịch lý Bertran.
Nghịch lý Bertran:
Dựng một cách ngẫu nhiên một đoạn thẳng (có hai điểm trên một
vòng tròn cho trước). Tìm xác suất sao cho dây cung này lớn hơn độ dài
của cạnh tam giác đều nội tiếp trong vòng tròn đó.
Để trả lời cho câu hỏi này, có rất nhiều lời giải. Dưới đây là ba lời giải cổ
điển của nó:
Lời giải 1: Dây cung phải được bắt đầu từ một điểm nào đó trên vòng
tròn. Ví dụ, điểm đó là điểm A như trên hình 7:

Tất cả các đường thẳng từ A quét hết một gó...