CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu
đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một
thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f1(t) = 5sin t và phát lại được nốt
thuần f2(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f1(t) + f2(t), trong đó t là biến thời
gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ),
tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và
pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Công thức cộng

2

Công thức nhân đôi

3

Công thức biến đổi tích thành tổng

4

Công thức biến đổi tổng thành tích

1. CÔNG THỨC CỘNG

HĐ1
a) Cho , hãy chứng tỏ 
Giải:
Ta có: nên

Vậy

HĐ1
b) Bằng cách viết  và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính 
Giải:
Ta có:
Mà (hai góc đối nhau).
Do đó

HĐ1
c) Bằng cách viết  và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính 

Giải:
Ta có:

(do ).
Vậy

KẾT LUẬN
Công thức:

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ 1

Không dung máy tính, hãy tính:

𝜋
a ¿ cos75 ° ;b ¿ 𝑡𝑎𝑛
12

Giải

𝑎¿ cos75 °=𝑐𝑜𝑠 ( 45 °+30 ° ) =𝑐𝑜𝑠 45 ° 𝑐𝑜𝑠 30 °− 𝑠𝑖𝑛 45 ° 𝑠𝑖𝑛 30 °
2 √ 3 √ 2 1 √6 − √ 2
√
¿
.
−
. =
2

2

2 2

4

𝜋
𝜋
2
𝑡𝑎𝑛
− 𝑡𝑎𝑛
(√ 3 −1)
𝜋
𝜋
𝜋
3
4
3−1
√
b ¿ 𝑡𝑎𝑛
=𝑡𝑎𝑛
−
=
=
=
= 2− √ 3
12
3
4
𝜋
𝜋
3−1
1+ √ 3
1+𝑡𝑎𝑛
. 𝑡𝑎𝑛
3
4

(

)

Ví dụ 2

(

𝜋
Chứng minh rằng 𝑠 𝑖𝑛𝑥+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =√ 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 4

)

Giải
Ta có:

( ) (

) (

𝜋
𝜋
𝜋
2
2
√
√
√ 2𝑠𝑖𝑛 𝑥+ =√ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 +𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛 =√ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 . +𝑐𝑜𝑠𝑥 .
4
4
4
2
2
Đẳng thức được chứng minh.

¿ 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥

)

LUYỆN TẬP 1: Chứng minh rằng:
a)  
b)
Giải
a) Ta có:

(đpcm).

LUYỆN TẬP 1: Chứng minh rằng:
a)  
b)
Giải
b) Ta có:

𝜋
𝑡𝑎𝑛 −𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝜋
4
𝑉𝑇 =𝑡𝑎𝑛
−𝑥 =
=𝑉𝑃
4
𝜋
1+𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑥
4

(

)

(do )

VẬN DỤNG 1

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải
Ta có:
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được:
Do đó,
Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ
âm  và pha ban đầu của sóng âm là .

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

HĐ2

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:

Giải

Mà , suy ra và
Do đó,

HĐ2

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:

Giải

tan ⁡2 𝑎=tan ⁡( 𝑎+ 𝑎)
tan 𝑎+ tan 𝑎
¿
1− tan 𝑎 tan 𝑎
2 tan 𝑎
¿
2
1− tan 𝑎

KẾT LUẬN
Công thức nhân đôi

Ví dụ 3

(

)

−1 𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑎=
<
𝑎<
𝜋
Cho
. Tính
3
2

Giải
𝜋
Vì 2 <𝑎 < 𝜋 nên .

√

( )

√ √

1
1
8 2 √2
= 1− = =
Do đósin 𝑎= √ 1 −𝑐𝑜𝑠 𝑎= 1 − −
3
9
9
3
2

2

( )

2 √2
1
4 √2
. − =−
Vậy sin 2 𝑎=2 sin 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎=2.
3
3
9

Công thức hạ bậc

1+ cos 2 a
cos a=
2
2

1− cos 2 a
sin a=
2
2

LUYỆN TẬP 2:

π
Không dùng máy tính, tính cos 8

Giải

( 8)

√2 =cos π =cos 2. π =2cos2 π −1
Ta có:
2

4

8

π
2
2+ √ 2
√
2π
=1+
⇒ cos =
Suy ra 2 cos
8
2
8
4
2

π
2+
2
√
√
π
cos
=
cos
>
0
Vì
nên suy ra
8
2
8

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TÍCH THÀNH TỔNG

HĐ3

a) Từ các công thức cộng và hãy tìm:

b) Từ các công thức cộng  và , hãy tìm: 

Giải
a) Ta có: (1);
  (2).
Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được:

1
Từ đó suy ra: cos 𝑎cos𝑏= [cos ⁡( 𝑎+𝑏)+cos ⁡( 𝑎 – 𝑏)]
2
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được

1
Từ đó suy ra: sin ⁡𝑎 sin ⁡𝑏 = [cos ⁡( 𝑎 – 𝑏)– cos ⁡( 𝑎+𝑏)]
2

Giải
b) Ta có:
(3)
  

(4)

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được:

Từ đó suy ra:

1
sin ⁡𝑎 cos ⁡𝑏 = [sin ⁡( 𝑎+𝑏)+sin ⁡(𝑎 – 𝑏)]
2

KẾT LUẬN
Công thức biến đổi tích thành tổng

Còn nữa….
Có đủ bộ word và powerpoint cả năm tất cả các bài
môn: Toán 11 Kết nối tri thức
https://drive.google.com/drive/folders/1ZCGcKUk8t22hf
ENMVNbn4JMpmxW7Ta2H?usp=drive_link