CHƯƠNG
I
CHƯƠNG IV. VECTƠ

§7. Các khái niệm mở đầu
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ
§9. Tích của một vectơ với một
số
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa
độ
§11. Tích vô hướng của hai

CHƯƠNG
CHƯƠNG
IV. IVECTƠ

HÌNH HỌC

➉

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

A BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
B

TỰ LUẬN

C

BÀI TẬP THÊM

D

BÀI TẬP VỀ NHÀ

A

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
4.27

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A

và .

B

và .

C

và

D

và

Bài giải
Có: .
Suy ra và cùng phương.
 

4.28
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A

và .

B

và .

C

và .

D

và .

Bài giải
Có:
Suy ra .
 

4.29
Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng ?

A

.

(

𝟏
⃗
𝒄= 𝟐 ;
𝟐

C

)

Bài giải
Có:

B

.

D

(

⃗
𝒅=

𝟏
−𝟏
;
√𝟐
√𝟐

)

4.30
Góc giữa vectơ và vectơ có số đo bằng:

A
C

𝟎

𝟗 𝟎

𝟎

𝟏𝟑 𝟓

Bài giải

Có:

.
 

B
D

𝟎

𝟎

𝟎

𝟒 𝟓

4.31
Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

.

C

⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
|
|
(
⃗
𝒂 . 𝒃=|𝒂|. 𝒃 𝒔𝒊𝒏 𝒂 , 𝒃 )

B

.

D

⃗
⃗
⃗
(
⃗
)
⃗
𝒂 𝒃 − 𝒄 =𝒂. 𝒃 − ⃗
𝒂.⃗
𝒄

Bài giải
Chọn D
 

4.32
Cho hình vuông có cạnh Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

B

.

𝟐
⃗
⃗
C 𝑨𝑪 . 𝑩𝑫 = 𝒂 √ 𝟐 .

Bài giải
Có: .
.
 

và

𝟐
⃗
⃗
D 𝑩𝑨 . 𝑩𝑫=− 𝒂 .

B

TỰ LUẬN
4.33

Bài giải

Trên cạnh của tam giác lấy điểm sao cho .
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ và .
b) Biểu thị vectơ theo hai vectơ và .

a) .
b) Gọi là trung điểm .
Có:

.

C. BÀI TẬP THÊM DẠNG 1. CÁC CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1
Biết , và . Câu nào sau đây đúng

A

và cùng hướng.

B

và nằm trên hai đường thẳng
hợp với nhau một góc .

C

và ngược hướng.

D

A, B, C đều sai.

Bài giải
Ta có
nên và ngược hướng

Câu 2
Cho hai véctơ và đều khác vectơ . Đẳng thức nào sau đây là sai ?

A
C

⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
|
|
(
⃗
𝒂 . 𝒃=|𝒂|. 𝒃 . 𝒄𝒐𝒔 𝒂 , 𝒃 )
𝟐
𝟐
𝟏
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
(
|
|
|
𝒂 . 𝒃=
𝒂 + 𝒃 − 𝒂 − 𝒃| )
𝟐

Bài giải

 Chọn C

B
D

𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
(
|
|
|
|
|
𝒂 . 𝒃=
𝒂 + 𝒃 − 𝒂 − 𝒃| )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
(
|
|
|
𝒂 . 𝒃=
𝒂 + 𝒃 − 𝒂 − 𝒃| )
𝟒

Câu 3
Tích vô hướng của hai véctơ và cùng khác là số âm khi:

A

và cùng chiều

C

∘
⃗
𝟎 <( ⃗
𝒂 , 𝒃 ) <𝟗 𝟎
∘

B

và cùng phương

D

∘
⃗
𝟗𝟎 <(⃗
𝒂 , 𝒃 ) <𝟏𝟖 𝟎

Bài giải
Chọn D 
 

∘

Câu 4
Cho tam giác . Lấy điểm trên sao cho.Câu nào sau đây đúng

A

là trung điểm của .

B

C

.

D

Bài giải

Ta có

nên .

là đường phân giác của góc .
A, B, C đều sai.

Câu 5
Cho 2 vec tơ , tìm biểu thức sai:

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
 Chọn C

DẠNG 2. TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTO BẰNG ĐỊNH
NGHĨA

Câu 1
Cho hình vuông . Tính góc :

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
+) Hai vectơ cùng hướng, do đó
+) Hai vectơ ngược hướng, do đó

Câu 2
Cho tam giác ABC đều. G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó góc giữa và
bằng:

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có:

Câu 3
Cho tam giác đều có đường cao . Góc và góc .

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có .
Vẽ .
Khi đó
.

Câu 4
Cho tam giác vuông tại có Tính côsin của góc giữa hai vectơ và .

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có: .
Mà nên .
Vậy
hay .

Câu 5
Cho hình thoi có góc A là . Tính

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Vì là hình thoi nên là phân giác góc .
Ta có:

DẠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO THEO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH C
Câu 1
Cho hình vuông tâm có độ dài cạnh là . Giá trị của là :

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải

Ta có:

.

Câu 2
Cho hình thoi tâm , cạnh và . Tính .

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Chọn D
Ta có nên .

.

Câu 3
Cho tam giác vuông tại biết , . Tính .

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có:
.
Ta có: tam giác vuông tại nên
nên
Nên . Suy ra .

Câu 4
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vector thỏa mãn đồng thời các điều
kiện và . Tính giá trị của :

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Chọn B
Ta có:
.

Câu 5
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vector thỏa mãn đồng thời các điều
kiện và . Tính .

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có:

.

DẠNG 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO BẰNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Câu 1
Trong mặt phẳng , cho hai vectơ ,, khi đó:

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
.

Câu 2
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ ,, khi đó bằng:

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có: .

Câu 3
Trong mặt phẳng tọa độ , cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau:

A

,.

B

,.

C

,

D

,.

Bài giải
Ta có: ,
thì .

Câu 4
Trong mặt phẳng tọa độ , cho ,,, giá trị là:

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có: .
Ta có: .

Câu 5
Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm ,,, có bao nhiêu giá trị để tam
giác vuông tại :

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có: .
Để tam giác vuông tại

.

DẠNG 5. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG
Câu 1
Cho nửa đường tròn đường kính AB= 2R. Có AC và BD là hai dây thuộc
nửa đường tròn cắt nhau tại E. khi đó giá trị của bằng

A
C

B

0

𝟐

𝟐

𝑹

Bài giải
Ta có
Vì AB là đường kính nên
Suy ra
Do đó .

D

𝟐

𝑹
𝟒

𝟐

𝑹

Câu 2
Cho tam giác với ba trung tuyến AD, BE, CF. Đẳng thức nào sau đây
đúng ?

⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
A 𝑩𝑪 . 𝑨𝑫+ 𝑪𝑨 . 𝑩𝑬 + 𝑨𝑩. 𝑪𝑭 =𝟎 B 𝑩𝑪 . 𝑨𝑫+ 𝑪𝑨 . 𝑩𝑬 + 𝑨𝑩. 𝑭𝑪 =𝟎
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
C 𝑩𝑪 . 𝑨𝑫+ 𝑪𝑨 . 𝑬𝑩+ 𝑨𝑩 . 𝑪𝑭 =𝟎 D 𝑩𝑪 . 𝑨𝑫+ 𝑪𝑨 . 𝑬𝑩+ 𝑨𝑩 . 𝑭𝑪=𝟎
Bài giải
Sử dụng các đẳng thức về trung điểm

Ta có:

Câu 3
Cho tam giác đều cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bất kỳ nằm
trên đường tròn . Khi đó bằng

A
C

𝟐 𝒂

𝟐

𝟒

𝟐

Bài giải
Ta có
Tương tự:
Suy ra

𝒂

B
D

𝒂
𝟏
𝟐

𝟐

𝒂

𝟐

Câu 4
Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính . Gọi I là giao điểm
của hai đường thẳng AM và BN. Khi đó giá trị của bằng

𝟎

A
C

𝟐

Bài giải
Ta có:
(Vì )
Từ đó ta có :

𝟐

𝑹

B
D

𝟐

𝑹
𝟒

𝟐

𝑹

Câu 5
Cho hình bình hành . Gọi M là một điểm tùy ý. Đẳng thức nào sau đây
đúng ?

⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
A 𝑴𝑨 . 𝑴𝑪 − 𝑴𝑩 . 𝑴𝑫= 𝑨𝑩 . 𝑩𝑪 B 𝑴𝑨 . 𝑴𝑪 − 𝑴𝑩 . 𝑴𝑫= 𝑩𝑨 . 𝑩𝑪
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
C 𝑴𝑨 . 𝑴𝑪 − 𝑴𝑩 . 𝑴𝑫= 𝑩𝑨 . 𝑪𝑩 D 𝑴𝑨 . 𝑴𝑪 − 𝑴𝑩 . 𝑴𝑫= 𝟎
Bài giải
Gọi O là tâm hình bình hành khi đó
+)
+)

DẠNG 6. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECT
Câu 1
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và . Tính cosin của góc giữa hai
vectơ và

𝟐√𝟓
√𝟓 .
⃗
𝒄𝒐𝒔 ( ⃗
𝒂 , 𝒃)=
.
A
B
𝟓
𝟓
𝟏
𝟑
√
⃗
⃗
⃗
(
)
(
⃗
)
𝒄𝒐𝒔
𝒂
,
𝒃
=
.
𝒄𝒐𝒔
𝒂
,
𝒃
=
.
C
D
𝟐
𝟐
⃗
(
⃗
𝒄𝒐𝒔 𝒂 , 𝒃 ) =−

Bài giải

Ta có

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tìm để vectơ tạo
với vectơ một góc

A

𝒎=𝟒 .

𝟏
𝒎=−
.
C
𝟒
Bài giải
Ta có
Yêu cầu bài toán

B
D

𝟏
𝒎=−
.
𝟐
𝟏
𝒎=
.
𝟐

Câu 3
Cho hai véc tơ và biết . Tính .

A

0

C
Bài giải

𝟏
𝟔
Ta có

B
D

1

𝟏
𝟐

Câu 4
Cho hình thang vuông ABCD có hai đáy , đường cao . Góc giữa hai
đường thẳng AC và BD bằng

A
C

𝟎

𝟑 𝟎

𝟎

𝟔 𝟎

B
D

𝟎

𝟒 𝟓

𝟎

𝟗 𝟎

Bài giải
Ta có :

Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 90 0.

Câu 5
Cho biết ; . Độ dài của véctơ góc bằng

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Ta có

DẠNG 7. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC
Câu 1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho .
Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ ?

𝒗 =( 𝟏 ; − 𝟑 ) .
A ⃗

𝒗 =( 𝟐 ; − 𝟔 ) .
B ⃗

⃗
𝒗 =( 𝟏 ; 𝟑 ) .

𝒗 =( − 𝟏 ; 𝟑 ) .
D ⃗

C

Bài giải

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ và .
Giá trị của để là

A

𝒌 =𝟐𝟎 .

B

𝒌 =− 𝟐𝟎 .

C

𝒌 =− 𝟒𝟎 .

D

𝒌 =𝟒𝟎 .

Bài giải
Từ giải thiết suy ra .
Để

Câu 3
Trong mặt phẳng tọa độ , cho bốn điểm và .
Tứ giác là hình gì?

A

Hình chữ nhật.

B

Hình thoi.

C

Hình bình hành.

D

Hình vuông.

Bài giải

Ta có:

Tứ giác là hình vuông.

DẠNG 8. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 1
Tác dụng lực không đổi 150N theo phương hợp với phương ngang một
góc vào vật có khối lượng 80kg làm vật chuyển động được quãng đường
20m. Công của lực tác dụng bằng

A

𝟖𝟎𝟎

C

𝟏𝟓𝟎𝟎

Bài giải

𝑱 .

B

𝟑𝟎𝟎𝟎

𝑱 .

𝑱 .

D

𝟏𝟔𝟎𝟎

𝑱 .

Câu 2
Một vật có trọng lượng 50N được thả rơi tự do từ độ cao m xuống một hồ
nước sâu 2m. Công của trọng lực khi vật rơi tới đáy hồ bằng

A

𝟐𝟎𝟎

𝑱 .

B

𝟏𝟎𝟎

𝑱 .

C

𝟒𝟎𝟎

𝑱 .

D

𝟑𝟎𝟎

𝑱 .

Bài giải

𝑨=𝟓𝟎. (𝟒+𝟐 ). 𝒄𝒐𝒔 (𝟎 ° )=𝟑𝟎𝟎 ( 𝑱 )

Câu 3
Một thang máy có trọng lượng 8000N chuyển động thẳng đứng lên trên
cao 10m. Nếu thang máy đi lên đều thì công của động cơ kéo thang máy
đi lên bằng

A

𝟖𝟎𝟎𝟎

𝑱 .

C

𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱 .

Bài giải
Thang máy đi lên đều nên N

B 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱 .
D

𝟖𝟎𝟎

𝑱 .

Câu 4
Một đầu tàu kéo một đoàn tàu chuyển động từ ga A tới ga B trong phút
với vận tốc km/h. Tại ga B đoàn tàu được mắc thêm toa và do đó chuyển
động đều từ ga B đến ga C với vận tốc nhỏ hơn trước km/h. Thời gian đi
từ ga B đến ga C là 30 phút. Biết rằng lực kéo của đầu tàu không đổi là
40000N, công của lực kéo của đầu tàu sinh ra bằng

A
C

𝟓

𝟕 .𝟏 𝟎

𝟕

𝟕 .𝟏 𝟎

𝑱 .
𝑱 .

Bài giải
Khoảng cách từ ga A đến ga B bằng:
Khoảng cách từ ga B đến ga C bằng:
Công của lực kéo đầu tàu bằng:

B

𝟔

𝑱 .

𝟖

𝑱 .

𝟕 .𝟏 𝟎

D 𝟕 .𝟏 𝟎

DẠNG 9. TÌM TỌA ĐỘ CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC
Câu 1
Cho tam giác có , , .
Tìm tọa độ trực tâm của tam giác .

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài
giải
Gọi là tọa độ cần tìm. . Nên .
. Suy ra .
Từ và ta có hệ phương trình .
Vậy là tọa độ cần tìm.

Câu 2
Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có , và
Gọi là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Gọi là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho khi đó ta có:
.
.
Từ đó ta có hệ phương trình .

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ , cho có , , .
Xác định tọa độ trực tâm của .

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
Gọi . Ta có .
Vì là trực tâm nên .
Vậy .

Câu 4
Cho có . Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là

A

.

B

.

C

.

D

.

Bài giải
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác khi và chỉ khi:
.